Enunciado

Mostre que:

0 < ∫ 5 10 x 2 x 4 + x 2 + 1 . d x ≤ 0,1

Comparando o integrando a uma função mais simples.

Passo 1

Bom, vamos mexes um pouco nesta integral, ok?! Dividiremos tudo por x²:

∫ 5 10 x 2 x 4 + x 2 + 1 . d x = ∫ 5 10 1 x 2 + 1 + 1 x 2 . d x

Este integrando é muito mais complicado de ser integrado, sendo assim vamos comparar com um integrando mais simples.

Neste caso optei por:

f x = 1 x 2

Como o denominador da função original é maior do que o denominador apresentado pela função acima:

1 x 2 + 1 + 1 x 2 < 1 x 2

Ou seja,

∫ 5 10 1 x 2 + 1 + 1 x 2 . d x < ∫ 5 10 1 x 2 . d x

Então, ao invés de integrarmos uma função mais complexas, integramos esta mais simples, entenderam ?

Passo 2

Começando a integral:

∫ 5 10 1 x 2 . d x = ∫ 5 10 x - 2 . d x = x - 1 - 1 | 10 5

Sendo assim:

= - 1 x | 10 5 = - 1 10 - 1 5

Tirando o MMC:

= - 1 - 2 10 = - - 1 10

Então:

∫ 5 10 1 x 2 . d x = 1 10 = 0,1

Podemos concluir que:

∫ 5 10 1 x 2 + 1 + 1 x 2 . d x < ∫ 5 10 1 x 2 . d x = 0,1

Já sabemos que:

∫ 5 10 1 x 2 + 1 + 1 x 2 . d x ≤ 0,1

Como a integral vai de 5 até 10, a integral nunca será igual à zero:

0 < ∫ 5 10 x 2 x 4 + x 2 + 1 . d x ≤ 0,1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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10. Calculec) ∫ t g 2 x d x
15. Calcule a )∫ s e nxs e n3 xd x
12. Calcule d ) ∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 xd x
15. Calcule b )∫ s e n2 xs e n5 xd x
10. Calculel) ∫ 1 + sec ⁡ x 2 d x