Enunciado

Para a função do exercício 18:

(a) Estime o valor de f ' ( 50 )

(b) f ' 10 > f ' 30 ?

(c) f ' 60 > f 80 - f 40 80 - 40 ? Explique.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema foi dado um gráfico de uma função e nosso objetivo é estimar f ' ( 50 ) , verificar se f ' 10 > f ' 30 e f ' 60 > f 80 - f 40 80 - 40 .

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Caso não tenha entendido, quando colocamos um tracinho em uma função f ' , estamos na verdade falando da inclinação/taxa de variação dessa função.

Veja só! 😬

Passo 2

(a) Bom pessoal, a taxa de variação instantânea de f em determinado intervalo é dada por:

l i m ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = lim x 2 → x 1 ⁡ f x 2 - f ( x 1 ) x 2 - x 1

Como podemos ver, ∆ x tende a zero. Com o aprendido neste capítulo, esta é a definição da tangente.

Como queremos f ' ( 50 ) , devemos estimar o valor da tangente da curva neste ponto. Pelo gráfico, podemos estimar que a tangente em x = 50 passa nos pontos 43,200 e 60,640 . Então:

f ' 50 ≈ 640 - 200 60 - 43 = 26

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

(b) Aqui, temos que comparar a inclinação das tangentes da curva nos pontos 10 e 30.

Aparentemente, a tangente de x = 10 está mais inclinada que a tangente de x = 30 . Porém, temos que observar que as tangentes estão inclinadas no sentido negativo. Portanto:

f ' 10 < f ' ( 30 )

Entendeu essa parte? 😬

Passo 4

(c) para verificar se f ' 60 > f 80 - f 40 80 - 40

Temos que observar novamente a inclinação para as duas condições dadas.

Podemos perceber claramente que a tangente em azul está mais inclinada que a preta. Então a afirmação é verdadeira.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 👀

Resposta

(a)   26

(b) f ' 10 < f ' ( 30 )

(c) f ' 60 > f 80 - f 40 80 - 40

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Seja f x = 2 x . Pensando geometricamente, qual o valor que você espera para f ' ( p ) ? Calcule f ' ( p ) .
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados f )f x = 1 x 2 ; p = 2
Calcule f ' p , pela definição, sendo dados b )f x = x ; p = 4
Seja f x = x 2 + 1 . Calcule a ) f ' 1 b ) f ' 0 c ) f ' ( x )
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados c )f x = 5 x - 3 ; p = - 3