Enunciado

A função oferta p s x para um produto dá a relação entre o preço de venda e o número de unidades que os fabricantes produzirão naquele preço. Por um preço maior, os fabricantes produzirão mais unidades, de modo que p s é uma função crescente de x . Seja X a quantidade de produto que é produzida atualmente e seja P = p s X o preço atual. Alguns fabricantes desejariam fazer e vender o produto a um preço mais baixo e, portanto, estão recebendo mais que seu preço mínimo. O excesso é chamado excedente do produtor. Um argumento semelhante ao do excedente do consumidor mostra que o excedente é dado pela integral

∫ 0 X P - p s x d x

Calcule o excedente do produtor para a função oferta p s x = 3 + 0,01 x 2 ao nível de vendas X = 10 . Ilustre desenhando a curva de oferta e identificando o excedente do produtor como uma área.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o excedente do produtor para a função oferta p s x = 3 + 0,01 x 2 ao nível de vendas X = 10 .

Para isso, utilizaremos a integral do excedente do produtor:

E = ∫ 0 X P - p s x d x

Onde P é o preço de venda e p ( x ) é a nossa função. Depois iremos esboçar a curva de demanda e identificar o excedente como uma área.

Passo 2

Quando o nível de vendas for   x = 10 , temos:

P = p s 10 = 3 + 0,01 10 2 = 4

x = 37

O excedente, chamado de E será então:

E = ∫ 0 10 P - p s x d x

Substituindo p s x = 3 + 0,01 x 2 na integral, temos:

E = ∫ 0 10 4 - 3 + 0,01 x 2 d x

Resolvendo a integral, obtemos o seguinte resultado:

E = 4 x - 3 x - 0,01 3 x 3 0 10

Passo 3

Aplicando os limites de integração, temos o excedente:

E = $   6.67

E esboçando a curva graficamente, obtemos o gráfico:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E = $   6.67

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