Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente

∫ - ∞ 0   z   e 2 z   d z

Passo 1

E ai galerinha, bora lá? Temos que determinar se o seguinte integral é convergente ou divergente:

I = ∫ - ∞ 0   z   e 2 z   d z

Temos uma integral imprópria do tipo 1, ou seja, com intervalo infinito. Por definição temos que:

∫ - ∞ b f ( x ) d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t b f ( x ) d x

Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?

A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando!

Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente!

Passo 2

Temos então:

∫ - ∞ 0 z   e 2 z   d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 z   e 2 z   d z

Vamos calcular a integral do limite e só depois avaliar o limite:

∫ t 0 z   e 2 z   d z

Aqui vamos usar a técnica de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Ou seja, a gente vai “repartir” nossa integral e reescrever ela! Mas atenção, a gente não pode escolher o nosso u de qualquer jeito! Se liga nessa ordem de prioridade:

Na nossa integral temos z que é uma função algébrica e e a z que é logarítmica, então por prioridade teremos:

u = z

d v = e 2 z   d z

Precisamos achar d u e v . Derivando u :

d u d z = 1 → d u = d z  

Integrando d v :

∫ d v   = ∫ e 2 z   d z

v   = ∫ e 2 z   d z = e 2 z 2

Montando a nossa integral por partes:

∫ z   e 2 z = z e 2 z 2 - ∫ e 2 z 2 d z

Resolvendo a integral:

∫ e 2 z 2 d z = e 2 z 4 + C

Então:

∫ z   e 2 z = z e 2 z 2 - e 2 z 4 + C

Passo 3

Portanto, temos:

∫ t 0 z   e 2 z   d z = z e 2 z 2 - e 2 z 4 t 0

Aplicando os limites de integração:

z e 2 z 2 - e 2 z 4 t 0 = 0 e 0 2 - e 0 4 - 0 e 2 t 2 - e 2 t 4

= - 1 4 - - e 2 t 4 = - 1 4 + e 2 t 4

Passo 4

Então:

lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 z   e 2 z   d z = l i m t → - ∞ - 1 4 + e 2 t 4

Vamos avaliar o limite:

l i m t → - ∞ - 1 4 + e 2 t 4

Quando substituímos valores negativos muito altos em e 2 t tendemos a zero, portanto:

l i m t → - ∞ - 1 4

Chegamos a um resultado, então nossa integral converge pra - 1 4 !

Resposta

∫ - ∞ 0   z   e 2 z   d z converge para - 1 / 4   .

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