Enunciado

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  1. Gere o gráfico de
  2. f x = 1 5 x 5 - 7 8 x 4 + 1 3 x 3 + 7 2 x 2 - 6 x

    No intervalo de [ - 5 ,   5 ] e faça uma conjectura sobre a localização e a natureza de todos os pontos críticos.

  3. Encontr a localização exata de todos os pontos críticos e classifique-os como máximos e mínimos relativos, ou nenhum dos dois.
  4. Confirme os resultados de (b) fazendo gráficos de partes de f em intervalos apropriados. [nota: Não é possível encontrar uma única janela na qual sejam visíveis todos os pontos críticos].

Passo 1

  1. O execicio pede para que construamos um gráfico da função utilizando ferramentas gráficas:
  2. Conforme podemos observar os pontos marcados no gráfico, vemos que mudanças acontecem em: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 e x = 2 .

    Passo 2

  3. Vamos encontrar os pontos críticios pelo teste da segunda derivada:
  4. f x = 1 5 x 5 - 7 8 x 4 + 1 3 x 3 + 7 2 x 2 - 6 x

    Derivando a função:

    f ' x = x 4 - 3,5 x 3 + x 2 + 7 x - 6

    Fatorando a rais bi quadarada em raiz cúbica, temos:

    f ' x = x - 2 x 3 - 1,5 x 2 - 2 x + 3

    A primeira raíz zera em x = 2 .

    Vamos resolver o restante da função, ficamos com :

    x 3 - 1,5 x 2 - 2 x + 3 = 0

    Para retirar os decimais, vamos multiplicar tudo por 10:

    10 x 3 - 15 x 2 - 2 0 x + 3 0 = 0

    Fatorando o termo 5, em comum a todos os termos, ficamos com:

    5 2 x 3 - 3 x 2 - 4 x + 6 = 0

    Vamos lidar com a função interna a fatoração:

    2 x 3 - 3 x 2 - 4 x + 6 = 0

    Podemos reescrever assim:

    x 2 2 x - 3 - 2 2 x - 3

    Isolando os termos em comum:

    2 x - 3 x 2 - 2 = 0

    Agora, conseguimos calcular as raízes restantes , quando:

    2 x - 3 = 0

    x = 3 2

    Quando :

    x 2 = 2

    x = ± 2

    As raízes desse problema são:

    x = 3 2

    x = 2

    x = ± 2

    Agora, calculamos a segunda derivada:

    f ' ' x = 4 x 3 - 10,5 x 2 + 2 x - 7

    Aplicando as raízes da segunda derivada na primeira derivada, temos:

    f ' ' - 2 < 0   m á x i m o   r e l a t i v o

    f ' ' + 2 > m í n i m o   r e l a t i v o

    f ' ' 3 2 < m á x i m o   r e l a t i v o

    f ' ' 2 > m í n i m o   r e l a t i v o

    Passo 3

  5. O exercício pede para confirmar os resultados observando o gráfico em intervalos menores:

Resposta

f ' ' - 2 < 0   m á x i m o   r e l a t i v o

f ' ' + 2 > m í n i m o   r e l a t i v o

f ' ' 3 2 < m á x i m o   r e l a t i v o

f ' ' 2 > m í n i m o   r e l a t i v o

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