Enunciado

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo local de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = sen ⁡ x + cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Deveremos aqui trabalhar com alguns pontos importantes da nossa função.

Passo 2

  1. Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
  2. f ' x = sen ⁡ x + cos ⁡ x '

    Vamos usar as regras de derivação da função trigonométrica:

    sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

    cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

    Vamos agora aplicar:

    f ' x = sen ⁡ x + cos ⁡ x '

    = cos ⁡ x + - sen ⁡ x

    = cos ⁡ x - sen ⁡ x = 0

    cos ⁡ x = sen ⁡ x

    sen ⁡ x cos ⁡ x = 1

    tg ⁡ x = 1

    x = π 4   o u   x = 5 π 4

    Onde o sinal de f ' ( x ) é positivo nossa função será crescente e se o sinal de f ' ( x ) for negativo então a função será decrescente.

    Passo 3

  3. Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto.
  4. Vemos que em x = π 4 e x = 5 π 4 há mudança do sinal de f ' , e como em x = π 4 o sinal muda de positivo para negativo, esse é um ponto de máximo local, já em x = 5 π 4 o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.

    Para achar os valores é só substituir os valores em f :

    f π 4 = sen ⁡ π 4 + cos ⁡ π 4 = 2

    f 5 π 4 = sen ⁡ 5 π 4 + cos ⁡ 5 π 4 = - 2

    Passo 4

  5. Para achar os intervalos de concavidade devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal:

f ' ' x = cos ⁡ x - sen ⁡ x '

= - sen ⁡ x - cos ⁡ x = 0

- cos ⁡ x = sen ⁡ x

sen ⁡ x cos ⁡ x = - 1

tg ⁡ x = - 1

x = 3 π 4   o u   x = 7 π 4

Para achar os pontos de inflexão devamos fazer f ' ' x = 0 que já fizemos em cima:

x = 3 π 4   o u   x = 7 π 4

Para garantir que x = 3 π 4 e x = 7 π 4 são pontos de inflexão, devemos ver se f 3 π 4 e f 7 π 4 existem:

f 3 π 4 = sen ⁡ 3 π 4 + cos ⁡ 3 π 4 = 0

f 7 π 4 = sen ⁡ 7 π 4 + cos ⁡ 7 π 4 = 0

Temos que o ponto de inflexão são 3 π 4 , 0 e 7 π 4 , 0 .

Resposta

  1. Crescente em 0 , π 4 e 5 π 4 , 2 π e decrescente em π 4 , 5 π 4
  2. f π 4 = 2 é máximo local e f 5 π 4 = - 2 é mínimo local
  3. Concavidade para baixo em 0 , 3 π 4 e 3 π 4 , 2 π e para cima em 3 π 4 , 7 π 4 e ponto de inflexão 3 π 4 , 0 e 7 π 4 , 0
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