Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 13
- Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximo e mínimo local de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
,
Passo 1
Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Deveremos aqui trabalhar com alguns pontos importantes da nossa função.
Passo 2
- Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
- Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de deve mudar nesse ponto.
- Para achar os intervalos de concavidade devemos achar e analisar os sinal:
Vamos usar as regras de derivação da função trigonométrica:
Vamos agora aplicar:
Onde o sinal de é positivo nossa função será crescente e se o sinal de for negativo então a função será decrescente.
Passo 3
Vemos que em e há mudança do sinal de , e como em o sinal muda de positivo para negativo, esse é um ponto de máximo local, já em o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.
Para achar os valores é só substituir os valores em :
Passo 4
Para achar os pontos de inflexão devamos fazer que já fizemos em cima:
Para garantir que e são pontos de inflexão, devemos ver se e existem:
Temos que o ponto de inflexão são e .
Resposta
- Crescente em e e decrescente em
- é máximo local e é mínimo local
- Concavidade para baixo em e e para cima em e ponto de inflexão e