Enunciado

O gráfico de y = 4 - | x | e o eixo x de x = - 4 até x = 4 formam um triângulo. Use o método desta secção para encontrar sua área.

Passo 1

A figura com o triângulo se encontra a seguir.

Para calcular a área total do triângulo, nós vamos utilizar a simetria, calculando a área do segundo quadrante e depois multiplicando por 2.

Devemos perceber que no segundo quadrante f x = 4 - - x = x + 4 . E o intervalo da região será [ - 4,0 ] .

Passo 2

Vamos utilizar os retângulos circunscritos para calcular.

Δ x = 0 - ( - 4 ) n = 4 n

f x i = - 4 + i 4 n + 4 = i ⋅ 4 n

A = 2 lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 2 lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i ⋅ 4 n 4 n   = 2 lim n → + ∞ ⁡ 16 n 2 ∑ i = 1 n i

Agora vamos usar a fórmula do somatório e calcular o limite.

∑ i = 1 n i ⏞ = I n ( n + 1 ) 2

A = 2 lim n → + ∞ ⁡ 16 n 2 n ( n + 1 ) 2 = 2 lim n → + ∞ ⁡ 8 n n 1 + 1 n = 2 ⋅ 8 1 - 0 = 16

Logo, a área A é 16   u . a .

Resposta

A = 16 ⁡   u . a

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