Enunciado

Use a continuidade para calcular o limite.

underset(x -> 2)(lim) a r c t g ((x^2 - 4)/(3 x^2 - 6 x))

Passo 1

Opa, bora lá! Temos:

underset(x -> 2)(lim) a r c t g ((x^2 - 4)/(3 x^2 - 6 x))

O enunciado pede para resolver um limite usando a propriedade da continuidade de funções. Essa propriedade é dada pelo teorema 8 apresentado na seção do livro:

“Se f for contínua em b e underset(x -> a)(lim) g ( x ) = b , então underset(x -> a)(lim) f (g (x)) = f ( underset(x -> a)(lim) g ( x ) ) = f ( b )

Em outras palavras, o que o teorema diz é que se f for contínua, podemos tirar ela para fora do limite.

Passo 2

Como o arco tangente é uma função contínua, podemos usar a propriedade da continuidade:

underset(x -> 2)(lim) a r c t g ((x^2 - 4)/(3 x^2 - 6 x)) = a r c t g (underset(x -> 2)(lim) (x^2 - 4)/(3 x^2 - 6 x))

Passo 3

Devemos calcular então o limite

underset(x -> 2)(lim) (x^2 - 4)/(3 x^2 - 6 x) = (0)/(0)

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, vamos fatorar tanto numerador como o denominador:

x^2 - 4 = (x + 2) (x - 2)

3 x^2 - 6 x = 3 x ( x - 2 )

Assim,

underset(x -> 2)(lim) (x^2 - 4)/(3 x^2 - 6 x) = underset(x -> 2)(lim) (( x + 2 ) ( x - 2 ))/(3 x ( x - 2 )) = underset(x -> 2)(lim) (x + 2)/(3 x) = (2 + 2)/(3 * 2) = (4)/(6) = (2)/(3)

Desta forma, o limite pedido será

underset(x -> 2)(lim) a r c t g ((x^2 - 4)/(3 x^2 - 6 x)) = a r c t g (underset(x -> 2)(lim) (x^2 - 4)/(3 x^2 - 6 x)) = a r c t g ((2)/(3))

Prontinho!

Resposta

R: a r c t g ((2)/(3)) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se a função g for contínua num número a e a função f for descotínua em a , é possível que o quociente das duas funçõesf / g seja contínuo em a ? Prove sua resposta.
Dado uma função f e um número c . a) Mostre que lim x → c ⁡ f ( x )0 .b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função f , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que f ( x )0 para todo x ≠ c no i
Prove o Teorema 2.10.4.
Dado uma função f e um número c . a) a) Mostre que lim x → c ⁡ f ( x )0 .b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função f , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que f ( x )0 para todo x ≠ c n
Dado uma função g e um número c . a) Mostre que lim x → c ⁡ g ( x )0 .b) Verifique o Teorema 2.10.2 para a função g , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que g ( x )0 para todo x ≠ c no i