Enunciado

Mostre que f é contínua em ( - oo , oo ) .

f (x) = {[[x^2 , x < 1],[sqrt(x) , x >= 1]])

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado pede para mostrarmos que a função dada é contínua em toda a reta real.

Todavia, existe uma particularidade: a função dada é definida por partes. Assim, temos que mostrar que as partes são contínuas e, além disso, que no ponto de colagem a função é contínua. Para isso, o limite deve coincidir com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos mostrar primeiro que f é contínua para x != 1 .

Para x > 1 , f (x) = sqrt(x) que é uma função contínua (função raiz) em seu domínio. O mesmo vale para x < 1 , onde f (x) = x^2 (polinômio).

Assim, para x != 1 , f é uma uma função contínua.

Passo 3

Vamos verificar agora se f é contínua em x = 1 . Para isso, calculemos os limites laterais. Pela esquerda ( x < 1 ), f (x) = x^2 , de modo que

underset(x -> 1^-)(lim) f ( x ) = underset(x -> 1^-)(lim) x^2 = 1^2 = 1

À direita ( x > 1 ), f (x) = sqrt(x) , de modo que

underset(x -> 1^+)(lim) f (x) = underset(x -> 1^+)(lim) sqrt(x) = sqrt(1) = 1

Como os limites laterais são iguais, temos que o limite existe e vale 1:

underset(x -> 1)(lim) f ( x ) = 1

Além disso, para x = 1 , f (1) = sqrt(1) = 1 = underset(x -> 1)(lim) f ( x ) . Assim, f é contínua em x = 1 . Desta forma, provamos que f é contínua em toda parte.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dado uma função g e um número c . a) Mostre que lim x → c ⁡ g ( x )0 .b) Verifique o Teorema 2.10.2 para a função g , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que g ( x )0 para todo x ≠ c no i
Prove o Teorema 2.10.2.
Dado uma função f e um número c . a) Mostre que lim x → c ⁡ f ( x )0 .b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função f , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que f ( x )0 para todo x ≠ c no i
Dado uma função f e um número c . a) Mostre que lim x → c ⁡ f ( x )0 .b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função f , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que f ( x )0 para todo x ≠ c no i
Dado uma função g e um número c . a) Mostre que lim x → c ⁡ g ( x )0 .b) Verifique o Teorema 2.10.2 para a função g , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que g ( x )0 para todo x ≠ c no i