Enunciado

O gráfico da função C q = K q 1 / α + F , q ∈ q 0 ,   q 1 , sendo K , α e F constantes positivas, é denominado curva de custos a curto prazo de Cobb-Douglas. Essa curva é bastante utilizada para representar os custos de uma empresa com a produção de um produto.

  1. Dar o significado da constante F .
  2. Verificar que, quando α > 1 , a curva é côncava para baixo e interpretar esse resultado do ponto de vista da Economia.
  3. Supor K = 2 , α = 3 e F = 8 e determinar, se existir, o valor de q que fornece o custo médio mínimo.
  4. Usando os mesmos valores do item (c), determinar o nível de produção que minimiza o custo marginal no intervalo 125 ≤ q ≤ 125.000

Passo 1

(a) repare que F não depende de q , assim, podemos afirmar que ele representará o custo fixo para produção do produto.

(b) Para sabermos a concavidade da curva, precisamos fazer o teste da segunda derivada. Então vem comigo!

C q = K q 1 α + F

Derivando,

C ' q = 1 α K q 1 α - 1

Derivando novamente:

C ' q = 1 α 1 α - 1 K q 1 α - 2

Se α > 1 o termo 1 α - 1 fica negativo, logo:

C ' q < 0

Como a segunda derivada deu negativa, então nossa curva terá concavidade para baixo. Isso significa que o custo marginal C q diminui à medida que a produção aumenta.

Passo 2

(c) Se considerarmos K = 2 , α = 3 e F = 8 , temos o seguinte:

C q = 2 q 1 3 + 8

Para encontrar o custo mínimo, vamos derivar e igualar a zero. Derivando,

C ' q = 1 3 × 2 q - 2 3

Igualando a zero:

2 3 q 2 3 = 0

Repare que não temos nenhum valor tal que C ' q = 0 .

C q = 2 q 1 3 + 8

O custo será mínimo

Passo 3

(d) Do item anterior, temos o seguinte:

C ' q = 2 2 q 2 3

Repare que quanto maior o valor de q , mais próximo de 0 fica C ' q . Nesse item, temos o seguinte:

125 ≤ q ≤ 125.000

Portanto,

q = 125.000

Resposta

(a)

O custo fixo para produção do produto.

(c)

Não existe

(d)

q = 125.000

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