Enunciado

Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Achar as dimensões de modo que o perímetro seja 3,2   m e a área seja a maior possível.

Passo 1

Inicialmente, podemos fazer uma ilustração da folha, olha só:

Então, o perímetro fica o seguinte:

2 r + 2 h + π r = 3,2

Isolando L :

h = 3,2 - 2 r - π r 2

Já para área, temos o seguinte:

A = 1 2 π r 2 + h × 2 r

Substituindo a expressão de L :

A = 1 2 π r 2 + 3,2 - 2 r - π r 2 × 2 r

Isto é,

A = 1 2 π r 2 + 3,2 r - 2 r 2 - π r 2

Simplificando:

A r = - 2 - π 2 r 2 + 3,2 r

Passo 2

Para maximizarmos a área, vamos derivar e igualar a zero, pois como A r é uma equação do segundo grau com coeficiente que acompanhar o r 2 negativo, então teremos concavidade para cima. Logo, teremos um ponto de máximo.

Derivando,

A ' r = 2 × - 2 - π 2 r + 3,2

Igualando a zero:

2 × - 2 - π 2 r + 3,2 = 0

Portanto,

r = 3,2 2 2 + π 2

Fazendo as contas:

r ≅ 0 , 44   m

Portanto, a largura ficara o seguinte:

L = 2 r → L = 0,88   m

Já para altura do retângulo:

h = 3,2 - 2 r - π r 2

substituindo r = 0,44   c m :

h ≅ 0,47   m

Resposta

L = 0,88   m

h ≅ 0,47   m

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