Enunciado

O gráfico de f está mostrado. Calcule cada integral interpretando-a em termos das áreas.

  1. ∫ 0 2 f x d x
  2. ∫ 0 5 f x d x
  3. ∫ 5 7 f x d x
  4. ∫ 0 9 f x d x

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... o enunciado nos dá o seguinte gráfico de uma função f x :

E quer que calculemos as seguintes integrais:

  1. ∫ 0 2 f x d x
  2. ∫ 0 5 f x d x
  3. ∫ 5 7 f x d x
  4. ∫ 0 9 f x d x

Para isso, devemos entender que a integral é a área sob a curva e que uma integral de uma função f x é dada por:

∫ a b f x d x

Onde a , b é o intervalo de integração!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para calcular as integrais vamos ver as áreas formadas na figura entre os limite de integraçãode cada integral, e calcular essa área, simples.

  1. Aqui temos que os limites de integração são x = 0 e x = 2 , e temos então um trapézio, com base maior 3 , base menor 1 e altura 2 , só calcular a área do trapézio, e teremos o valor da integral:
  2. ∫ 0 2 f x d x = 3 + 1 2 2 = 4

    Passo 3

  3. Aqui temos que os limites de integração são x = 0 e x = 5 , e vamos dividir a figura em três partes, para ficar simples de calcular as áreas, em um trapézio, com base maior 3 , base menor 1 e altura 2 , um retângulo, com base 1 e altura 3 e um triângulo com base 2 e altura 3 , agora é só calcular as somas dessas áreas, e teremos o valor da integral:
  4. ∫ 0 5 f x d x = A T r a p é z i o + A R e t â n g u l o + A T r i â m g u l o

    = 3 + 1 2 2 + 1.3 + 2.3 2

    = 4 + 3 + 3

    = 10

    Passo 4

  5. Aqui temos que os limites de integração são x = 5 e x = 7 , e temos então um triângulo, com base 2 e altura 3 , porém aqui a figura está abaixo do eixo x , então a área aqui é negativa, temos que colocar um sinal de menos e calcular a área do triângulo, assim teremos o valor da integral:
  6. ∫ 5 7 f x d x = - 2 * 3 2

    = - 3

    Passo 5

  7. Aqui temos que os limites de integração são x = 0 e x = 9 , e pelas propriedades das integrais , sabemos que:

∫ 0 9 f x d x = ∫ 0 5 f x d x + ∫ 5 7 f x d x + ∫ 7 9 f x d x

A área abaixo da curva de x = 7 até x = 9 é a de um trapézio, com base maior 3 , base menor 2 e altura 2 , mas como está abaixo do eixo x , assumiremos seu valor negativo.

∫ 7 9 f x d x = - 3 + 2 2 2 = - 5

Logo,

∫ 0 9 f x d x = 10 - 3 - 5 = 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

  1. ∫ 0 2 f x d x = 4
  2. ∫ 0 5 f x d x = 10
  3. ∫ 5 7 f x d x = - 3
  4. ∫ 0 9 f x d x = 2
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