Enunciado

Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = cos ⁡ x   e   y = - cos ⁡ x ,   x ∈ - π 2 , 3 π 2

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

Percebam que temos duas regiões limitadas por ambas às curvas. Para a região de - π / 2 ≤ x ≤ π / 2 , a curva y = cos ⁡ x está acima da curva y = - cos ⁡ x . Já no caso da região π / 2 ≤ x ≤ 3 π / 2 , temos o contrário. Portanto, precisamos levar este fato em consideração na hora de montarmos a nossa integral. Desta forma, temos:

A = ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ x - - cos ⁡ x d x + ∫ π / 2 3 π / 2 - cos ⁡ x - cos ⁡ x d x

A = ∫ - π / 2 π / 2 2 cos ⁡ x d x + ∫ π / 2 3 π / 2 - 2 cos ⁡ x d x

Podemos ir mais além. Como ambas as regiões são iguais, podemos transformar as nossas integrais em apenas 1. Basta fazermos:

A = 2 ∫ - π / 2 π / 2 2 cos ⁡ x d x

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dá a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

∫ - π / 2 π / 2 2 cos ⁡ x d x

2 sen ⁡ x - π / 2 π / 2 = 4

Portanto, a área da nossa região é:

A = 2 ⋅ 4 = 8 u . a .

Resposta

A = 8   u . a .

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