Enunciado

Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = x 3 - x   e   y = 0

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

Percebam que temos duas regiões limitadas por ambas às curvas. Para a região de - 1 ≤ x ≤ 0 , a curva y = x 3 - x está acima da reta y = 0 . Já no caso da região 0 ≤ x ≤ 1 , temos o contrário. Portanto, precisamos levar este fato em consideração na hora de montarmos a nossa integral. Desta forma, temos:

A = ∫ - 1 0 x 3 - x - 0 d x + ∫ 0 1 0 - x 3 - x d x

A = ∫ - 1 0 x 3 - x d x + ∫ 0 1 - x 3 + x d x

Podemos ir mais além. Como ambas as regiões são iguais (simetria da curva y = x 3 - x ), podemos transformar as nossas integrais em apenas 1. Basta fazermos:

A = 2 ∫ 0 1 - x 3 + x d x

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dá a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

∫ 0 1 - x 3 + x d x

- x 4 4 + x 2 2 0 1

- 1 4 + 1 2 - 0 = 1 4

Portanto, a área da nossa região é:

A = 2 ⋅ 1 4 = 1 2 u . a .

Resposta

A = 1 2 u . a .

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Encontre a área da região sombreada.