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Uma grande placa de sinalização deve conter 50 m ² de letreiro. Se for deixada uma margem de 4   m na base e no topo e uma margem de 2   m nas laterais, ache as dimensões da menor placa que satisfaça essas especificações.

Passo 1

Então galera, como a questão nos diz que a placa deve conter 50   m ² de letreiro, isto é, de área, então temos:

x . h = 50

No qual x é a largura e h a altura da placa. Isolando a altura, teremos:

h = 50 x

Como a margem é de 4   m na largura e de 8   m na altura, teremos o seguinte:

A x = x . h

A x = x + 4 . 50 x + 8

∴ A x = 8 x + 200 x + 32

Passo 2

Agora que temos uma expressão para a área da placa, vamos derivar essa função A ( x ) e igualar a zero para encontrar os pontos críticos da função, ok?

A ' x = 8 - 200 x 2

8 - 200 x 2 = 0

x 2 = 25

x = ± 5

É claro que o valor negativo não nos interessa, uma vez que estamos tratando de uma medida real de área. Em outras palavras, o intervalo é 0 < x < ∞ . Como queremos uma placa de tamanho mínimo, o que temos que fazer é derivar novamente a função A ' ( x ) e substituir o ponto crítico que encontramos para ver se, de fato, se trata de um mínimo. Pera aí, como sei que é um mínimo ou um máximo?

Para A ' ' x > 0 , então a concavidade do gráfico é para cima, o que implica em um mínimo.

Para A ' ' x < 0 , então a concavidade do gráfico é para baixo, o que implica em um máximo.

Passo 3

Botando esses conceitos em prática, teremos:

A ' ' x = 400 x 3

A ' ' 5 = 400 5 3 = 3,2 > 0

Sendo assim, concluímos que, de fato, o ponto x = 5 é um mínimo que satisfaz as condições do problema. Descobrindo as dimensões, temos:

l a r g u r a = x + 4

l a r g u r a = 5 + 4 = 9   m

a l t u r a = 50 x + 8

a l t u r a = 50 5 + 8 = 18   m

Resposta

l a r g u r a = 9 m

a l t u r a = 18   m

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