Enunciado

Se a > 0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .

Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que

∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y

Passo 1

Bom galera, vamos começar notando que temos as regiões:

As áreas das regiões podem ser calculadas por integral, bem assim:

B 1 = ∫ ∫ B 1 d x d y

B 2 = ∫ ∫ B 2 d x d y

D = ∫ ∫ D d x d y

Mas a gente não precisa calcular, por que com o gráfico a gente já pode concluir que:

B 1 ≤ D ≤ B 2

∫ ∫ B 1 d x d y ≤ ∫ ∫ D d x d y ≤ ∫ ∫ B 2 d x d y

Passo 2

Belezinha, logo a gente também pode deduzir que:

∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2   d x d y ≤ ∫ ∫ D e - x 2 + y 2   d x d y ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2   d x d y

Logo também podemos escrever:

∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2   d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2   d x d y

E prontinho. 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcular ∬ R y d x d y , sendo R a região delimitada por y = x , y = 2 x e y = 4 - x 2 .
Calcular ∫ 0 4 ∫ 0 1 4 144 - 9 y 2 ( 144 - 16 x 2 - 9 y 2 ) d x d y .
Calcular ∬ R ( 36 - 4 x 2 - 9 y 2 ) d x d y , onde R é a região delimitada pela elipse x 2 9 + y 2 4 = 1 .
Calcular ∬ R x d x d y , sendo R é a região do primeiro quadrante delimitada por x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 , y = x e y = 0 .
Calcular ∬ R ( x + y ) d x d y , onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por x y = 1 , x y = 2 , y = x e y = 4 + x .