s) ∫ π 3 π 2 s e n x s e n 2 x   d x  

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável, mas antes disso temos que lembrar da relação fundamental (lá da trigonometria):

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 →   s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Agora Vejamos:

∫ π 3 π 2 s e n x s e n 2 x   d x =   ∫ π 3 π 2 s e n x ( 1 - cos 2 ⁡ ( x ) ) d x  

A substituição da vez será u = c o s ⁡ ( x ) , pois quando derivarmos vai aparecer s e n ( x ) 😉

  u = cos ⁡ x       ( * )

Derivando,

d u = - s e n x   d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = π 3 → u = c o s π 3 = 1 2

x = π 2 → u = c o s π 2 = 0   Quando derivamos apareceu d u =   - s e n x   d x que é basicamente - d u = s e n x   d x

Nossa integral era:

∫ π 3 π 2 s e n x ( 1 - cos 2 ⁡ x )   d x   =   ∫ π 3 π 2 ( 1 - cos 2 ⁡ x ) s e n x   d x

e vai ficar assim ó:

∫ 0 1 2 1 - u 2 - d u =   - ∫ 0 1 2 1 - u 2   d u =   ∫ 0 1 2 d u - ∫ 0 1 2 u 2   d u  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

∫ 0 1 2 d u - ∫ 0 1 2 u 2 d u   = u | 0 1 2 - u 3 3 | 0 1 2 = 1 2 - 0 - 1 8 ⋅ 3 - 0 3 = 1 2 - 1 24 = 11 24

Resposta

11 24

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