q)   ∫ 1 x + 1 e x d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I =     ∫ 1 x + 1 e x d x = ∫ 1 x d x + ∫ 1 e x d x

Não esquece: ∫ e x d x = e x + c   e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 2

Resolvendo!

I 1 = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c 1

Além disso,

I 2 = ∫ 1 e x d x = ∫ e - x d x = e - x - 1 + c 2

E vai ficar assim:

I = I 1 + I 2 = ln ⁡ x + c 1 + e - x - 1 + c 2 =   ln ⁡ x - 1 e x + c

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = e 2 x 2 - e - x + c

Atenção: Não esqueça da regra da cadeia.

Derivando para verificar,

I ' = ln ⁡ x - 1 e x + c ' = 1 x -   e - x ⋅ - 1 + 0 = 1 x + 1 e x

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

ln ⁡ x - 1 e x + c

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