Enunciado

15) int (x^2 + 3)/(x^2 - 9) d x

Passo 1

I = int (x^2 + 3)/(x^2 - 9) d x

Analisando a integral, podemos pensar em dividir em frações parciais, mas antes temos que ter um polinômio no numerador com grau menor do que no denominador.

Então vamos deixar o numerador parecido com o denominador para tentar simplificar!

(x^2 + 3)/(x^2 - 9) = (x^2 - 9 + 9 + 3)/(x^2 - 9) = (( x^2 - 9 ) + 12)/(x^2 - 9) = 1 + (12)/(x^2 - 9)

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = int (x^2 + 3)/(x^2 - 9) d x

E vai ficar assim:

I = int (1 + (12)/(x^2 - 9)) d x = int d x + int (12)/(x^2 - 9) d x

Atenção: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Para resolver a primeira parcela:

I_1 = int d x = x + c_1

Para a segunda parcela:

I_2 = int (12)/(x^2 - 9) d x = 12 * int (1)/(x^2 - 9) d x = 12 * int (1)/((x - 3) (x + 3)) d x

Dividindo em frações parciais, temos:

(1)/((x - 3) (x + 3)) = (A)/(x - 3) + (B)/(x + 3)

Deixando os denominadores iguais:

(1)/((x - 3) (x + 3)) = (A * (x + 3) + B * ( x - 3 ))/((x - 3) (x + 3))

Fazendo a distributiva:

(1)/((x - 3) (x + 3)) = ((A + B) x + ( 3 A - 3 B ))/((x - 3) (x + 3))

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

0 * x + 1 = (A + B) x + ( 3 A - 3 B )

{[[A + B = 0 ( i )],[3 A - 3 B = 1 ( i i )]])

De ( i ) :

A = - B

Substituindo em ( i i ) :

- 6 B = 1

Logo,

A = (1)/(6) e B = - (1)/(6)

I_2 = 12 * (int ((1)/(6))/(x - 3) d x + int ((- 1)/(6))/(x + 3) d x) = 2 * int (d x)/(x - 3) - 2 int (d x)/(x + 3)

Não esquece: int (1)/(u) d u = ln |u| + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I_2 = 2 * int (d x)/(x - 3) - 2 int (d x)/(x + 3) = 2 * ln |x - 3| - 2 * ln |x + 3| + c_2

Portanto,

I = I_1 + I_2 = x + c_1 + 2 * ln |x - 3| - 2 * ln |x + 3| + c_2

Juntando as constantes:

I = x + 2 * ln |x - 3| - 2 * ln |x + 3| + c

Resposta

x + 2 * ln |x - 3| - 2 * ln |x + 3| + c

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