11) ∫ x 3 + x + 1 x 2 - 2 x + 1 d x  

Passo 1

I = ∫ x 3 + x + 1 x 2 - 2 x + 1 d x

Analisando a integral, vemos que é interessante quebrar em frações parciais. Mas antes temos que dividir os polinômios para o grau do numerador ficar menor do que o do denominador!!

Fazendo a divisão, as coisas ficam assim:

Logo,

x 3 + x + 1 = x 2 - 2 x + 1 ⋅ x + 2 + ( 4 x - 1 )

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = ∫ x 3 + x + 1 x 2 - 2 x + 1 d x

E vai ficar assim:

I = ∫ x 2 - 2 x + 1 ⋅ x + 2 + ( 4 x - 1 ) x 2 - 2 x + 1 d x = ∫ x + 2 d x + ∫ 4 x - 1 x 2 - 2 x + 1 d x = I 1 + I 2

Resolvendo a primeira parcela:

I 1 = ∫ x + 2 d x = x 2 2 + 2 x + c 1

Essa segunda é um pouco cascuda, então vamos com calma!

I 2 = ∫ 4 x - 1 x 2 - 2 x + 1 d x

O termo que queremos integrar é o seguinte:

E = 4 x - 1 x 2 - 2 x + 1 = 4 x - 1 x - 1 2       ( * )

Nesse caso é um pouco diferente, pois temos um termo ao quadrado no denominador! A técnica é assim ó:

E = 4 x - 1 x 2 - 2 x + 1 =   A x - 1 + B x - 1 2       ( * )

Deixando os denominadores iguais:

A x - 1 + B x - 1 2 = A x - 1 ⋅ x - 1 x - 1 + B x - 1 2

Fazendo as distributivas:

A x - A + B x - 1 2

Voltando para ( * ) ,

4 x - 1 x - 1 2 = A x - A + B x - 1 2

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

  4 ⋅ x - 1 = A x - A + B

A = 4       ( i ) - A + B = - 1       ( i i )

De ( i ) :

A = 4

Substituindo em ( i i ) :

- 4 + B = - 1 → B = 3

Logo,

B = 3   ;   A = 4

Passo 3

Vamos resolver a I 2

Antes era assim:

I 2 = ∫ 4 x - 1 x - 1 2 d x

E vai ficar assim:

I 2 = ∫ 4 x - 1 + 3 x - 1 2 d x = 4 ⋅ ∫ 1 x - 1 d x + 3 ⋅ ∫ 1 x - 1 2 d x = 4 ⋅ I 3 + 3 ⋅ I 4

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

I 3 = ∫ 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - 1 + c 3

Agora pra acabar!!

I 4 = ∫ 1 x - 1 2 d x

Chama u = x - 1 → d u = d x :

I 4 = ∫ 1 x - 1 2 d x = ∫ 1 u 2 d u = - 1 u + c 4

Voltando para x :

I 4 = - 1 x - 1 + c 4

Juntando tudo:

I = I 1 + I 2 = I 1 + 4 ⋅ I 3 + 3 ⋅ I 4

I = x 2 2 - 2 x + c 1 + 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c 3 + 3 ⋅ - 1 x - 1 + c 4

Juntando as constantes:

I = x 2 2 + 2 x + 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 - 3 ⋅   1 x - 1 + c

Resposta

x 2 2 + 2 x + 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 -   3 x - 1 + c

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