10) ∫ x 2 + x + 1 x 2 - x d x  

Passo 1

I = ∫ x 2 + x + 1 x 2 - x d x

Primeiro vamos tentar deixar o numerador parecido com o denominador com o intuito que fazer alguma simplificação.

x 2 + x + 1 x 2 - x = ( x 2 - x ) + x + x + 1 x 2 - x

Agora vamos quebrar em duas frações:

( x 2 - x ) + x + x + 1 x 2 - x = 1 + 2 x + 1 x 2 - x

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = ∫ x 2 + x + 1 x 2 - x d x

E vai ficar assim:

I = ∫ 1 + 2 x + 1 x 2 - x d x = ∫ d x + ∫ 2 x + 1 x 2 - x d x

Resolvendo a primeira parcela:

I 1 = ∫ d x = x + c 1

Essa segunda é um pouco cascuda, então vamos com calma!

I 2 =   ∫ 2 x + 1 x 2 - x d x

Separando em duas frações, temos:

2 x + 1 x ( x - 1 ) =   A x + B x - 1       ( * )

Agora vamos mexer com o lado direito!

Deixando os denominadores iguais:

A x + B x - 1 = A x ⋅ x - 1 x - 1 + B x - 1 ⋅ x x

Fazendo as distributivas:

A x - A + B x x ⋅ ( x - 1 ) = A + B x - A x ⋅ ( x - 1 )

Voltando para ( * ) ,

2 x + 1 x ⋅ ( x - 1 ) = A + B x - A x ⋅ ( x - 1 )

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

  2 ⋅ x + 1 = A + B x - A

A + B = 2     ( i ) - A = 1                 ( i i )

De ( i ) :

A = - 1

Substituindo em ( i i ) :

- 1 + B = 2 → B = 3

Logo,

B = 3   e   A = - 1

Passo 3

Vamos resolver a I 2

Antes era assim:

I 2 = ∫ 2 x + 1 x 2 - x d x

E vai ficar assim:

I 2 = ∫ - 1 x + 3 x - 1 d x = - 1 ⋅ ∫ 1 x d x + 3 ⋅ ∫ 1 x - 1 d x

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

I 2 =   - 1 ⋅ ln ⁡ x + 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c 2

Logo,

I = I 1 + I 2 = x - 1 ⋅ ln ⁡ x + 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c

Resposta

x - ln ⁡ x + 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c

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