f) ∫ x + 2 x - 1 d x

Passo 1

Podemos fazer um truque que usamos em diversas questões, olha só:

I = ∫ x + 2 x - 1 d x

Vamos tentar fazer alguma coisa com o numerador pra ajudar a gente!

x + 2 x - 1 = x - 1 + 3 x - 1

Viu que podemos escrever desse jeito?!

x - 1 + 3 x - 1 = x - 1 x - 1 + 3 x - 1 = 1 + 3 x - 1

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 2

Então nossa integral vai ficar assim:

I = ∫ x + 2 x - 1 d x = ∫ ( 1 + 3 x - 1 ) d x

Dividindo em duas partes:

I = ∫ d x + ∫ 3 x - 1 d x = I 1 + I 2

Agora vamos resolver cada uma individualmente!

I 1 = ∫ d x = x + c 1

I 2 = ∫ 3 x - 1 d x = 3 ⋅ ∫ 1 x - 1 d x = 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c 2

Passo 3

Agora vamos juntar as duas integrais!

I 1 = x + c 1

I 2 = 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c 2

I = I 1 + I 2 = x + c 1 + 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c 2

Além disso, podemos juntar as duas constantes!

I = x + 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c

Resposta

x + 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c

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