12) ∫ x 3 + x + 1 x 2 - 4 x + 3 d x  

Passo 1

I = ∫ x 3 + x + 1 x 2 - 4 x + 3 d x

Analisando a integral, vemos que é interessante quebrar em frações parciais. Mas antes temos que dividir os polinômios para o grau do numerador ficar menor do que o do denominador!!

Fazendo a divisão, as coisas ficam assim:

Logo,

x 3 + x + 1 = x 2 - 4 x + 3 ⋅ x + 4 + ( 14 x - 11 )

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = ∫ x 3 + x + 1 x 2 - 4 x + 3 d x

E vai ficar assim:

I = ∫ x 2 - 4 x + 3 ⋅ x + 4 + ( 14 x - 11 ) x 2 - 4 x + 3 d x = ∫ x + 4 d x - ∫ 14 x - 11 x 2 - 4 x + 3 d x

Resolvendo a primeira parcela:

I 1 = ∫ x + 4 d x = x 2 2 + 4 x + c 1

Essa segunda é casca grossa, então vamos com calma!

I 2 = ∫ 14 x - 11 x 2 - 4 x + 3 d x

O termo que queremos integrar é o seguinte:

E = 14 x - 11 x 2 - 4 x + 3 = 14 x - 11 x - 1 ⋅ ( x - 3 )       ( * )

Nesse caso é um pouco diferente, pois temos um termo ao quadrado no denominador! A técnica é assim ó:

E = 14 x - 11 x - 1 ⋅ ( x - 3 ) =   A x - 1 + B x - 3       ( * )

Deixando os denominadores iguais:

E = A x - 1 + B x - 3 = A x - 1 ⋅ x - 3 x - 3 + B x - 3 ⋅ x - 1 x - 1

Fazendo as distributivas:

E = A x - 3 A + B x - B x - 1 ⋅ ( x - 3 )

Voltando para ( * ) ,

14 x - 11 x - 1 ⋅ ( x - 3 ) = x ( A + B ) - 3 A - B x - 1 ⋅ ( x - 3 )

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

  14 ⋅ x - 11 = x ( A + B ) - 3 A - B

A + B = 14       ( i ) - 3 A - B = - 11       ( i i )

De ( i ) :

A = 14 - B

Substituindo em ( i i ) :

- 3 ⋅ 14 - B - B = - 11 → 2 B = 31

Logo,

B = 31 2   ;   A = - 3 2

Passo 3

Vamos resolver a I 2

Antes era assim:

I 2 = ∫ 14 x - 11 x 2 - 4 x + 3 d x

E vai ficar assim:

I 2 = ∫ - 3 2 x - 1 + 31 2 x - 3 d x = - 3 2 ⋅ ∫ 1 x - 1 d x + 31 2 ⋅ ∫ 1 x - 3 d x

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Agora pra acabar!!

I 2 = - 3 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 31 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 + c 2

Juntando tudo:

I = I 1 + I 2 = x 2 2 + 4 x + c 1 - 3 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 31 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 + c 2

Juntando as constantes:

I = x 2 2 + 4 x - 3 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 31 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 + c

Resposta

x 2 2 + 4 x - 3 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 31 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 + c

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