Enunciado

Há uma boa chance de que um CAS não seja capaz de calcular a integral dada. Se for esse o caso, faça uma substituição de forma a obter uma integral que seu CAS possa calcular.

∫ x cos ⁡ x + s e n   x 1 + x 2 s e n 2 x d x

Passo 1

Como a gente é curioso, vamos tentar descobrir que substituição é essa que deixa essa integral mais fácil para o nosso programinha.

Vamos reescrever essa integral:

∫ x cos ⁡ x + s e n   x 1 + x   s e n   x 2 d x

Repara que temos um produto de funções dentro do quadrado ( x   s e n   x ) e temos um termo do lado de fora que parece muito uma regra do produto   x cos ⁡ x + s e n   x .

A gente pode tentar usar a substituição:

u = x   s e n   x

E usando a regra do produto:

d u d x = s e n   x + x cos ⁡ x ∴ d u = x cos ⁡ x + s e n   x   d x

Olha só! Apareceu exatamente o termo do lado de fora da raiz quando achamos d u . Então essa é a substituição que vamos usar.

Passo 2

Aplicando essa substituição na nossa integral, temos que:

∫ x cos ⁡ x + s e n   x 1 + x   s e n   x 2 d x = ∫ 1 + u 2   d u

Ficou uma integral bem mais bonitinha, né? Vamos jogar no Wolfram Mathematica:

E lembrando que u = x   s e n   x :

∫ x cos ⁡ x + s e n   x 1 + x   s e n   x 2 d x = ∫ 1 + u 2   d u =

= 1 2   u u 2 + 1 + a r c s e n h u =

= 1 2 x   s e n   x ( x   s e n   x ) 2 + 1 + a r c s e n h x   s e n   x + C

Que lindo! Conseguimos!

Resposta

1 2 x   s e n   x ( x   s e n   x ) 2 + 1 + a r c s e n h x   s e n   x + C

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