Enunciado

Um habitante comum do intestino humano é a bactéria Escherichai coli. Uma célula dessa bactéria em um meio nutriente se divide em duas células a cada 20 minutos. A população inicial da cultura é de 60 células.

a) Encontre a taxa de crescimento relativo.

b) Ache uma expressão para o número de células depois de t horas.

c) Calcule o número de células depois de oito horas.

d) Estabeleça a taxa de crescimento depois de oito horas.

e) Quando a população alcançará 20000 células?

Passo 1

A questão fala de uma célula de bactéria que dobra a cada 20 minutos. Assim, a cada hora, o número de células aumenta por um fator

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 3 = 8

Assim, o número de células respeita uma relação do tipo

N ( t ) = N 0 ⋅ 8 t ,

onde t dá o número de horas passadas desde o instante inicial. Como a cada hora há um aumento por um fator 8 , a cada t horas o fator de aumento é 8 t . Por outro lado, essa equação pode ser escrita como

N t = N 0   e k t

Assim, existe k (taxa de crescimento relativo) tal que

e k t = 8 t

Tomando l n dos dois lados:

k t = ln ⁡ 8 t = t ln ⁡ 8 ⇒ k = ln ⁡ 8

Assim,

k ≈ 2,08

Como N 0 = 60 , a expressão para o número de células em função do tempo em horas é

N t = 60 ⋅ 8 t = 60   e t ⋅ ln ⁡ 8

Passo 2

No item (c) queremos o número de células após 8 horas. Basta substituir t = 8 :

N 8 = 60 ⋅ 8 8

Assim,

N 8 ≈ 1,006 ⋅ 10 9

Para a taxa de crescimento, basta derivara N :

d N d t = ln ⁡ 8 ⋅ 60   e t ⋅ ln ⁡ 8 = N ⋅ ln ⁡ 8

Assim,

d N d t 8 = N 8 ⋅ ln ⁡ 8

Logo,

d N d t 8 = 2,093 ⋅ 10 9

Passo 3

Por fim, queremos saber quando a população atingirá 20000 células. Portanto, queremo saber t quando N t = 20000 :

20000 = 60 ⋅ 8 t ⇒ 8 t = 2000 6 = 1000 3

Tomando o log:

ln ⁡ 8 t = ln ⁡ 1000 3 ⇒ t ln ⁡ 8 = ln ⁡ 1000 3

Logo,

t = 2,79   h

Resposta

k = ln ⁡ 8 ≈ 2,08

N t = 60 ⋅ 8 t = 60   e t ⋅ ln ⁡ 8

N 8 ≈ 1,006 ⋅ 10 9

d N d t 8 = 2,093 ⋅ 10 9

t = 2,79   h

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