O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,

a substituição y = (x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta

última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x

fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:

(a) Mostre que a equação dada é homogênea.

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação

à origem?

dy/dx = (4y - 3x) / (2x - y)

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a equação:

d y d x = 4 y - 3 x 2 x - y

E nosso objetivo é mostrar que essa equação é homogênea, encontrar sua solução e desenhar o campo de direções e simetria.

Tem ideia de como fazemos isso?

Para verificar se a equação é homogênea, temos que verificar se

d y d x = f v

Em que v = y / x .

Depois calculamos a solução desse sistema substituindo y = v x .

Bora começar!

Passo 2

Primeiro vamos verificar se a equação é homogênea.

d y d x = 4 y - 3 x 2 x - y

Se dividirmos o numerador e o denominador por x , vamos obter

d y d x = 4 y - 3 x x 2 x - y x = 4 y x - 3 2 - y x

Então se y x = v ...

d y d x = f v = 4 v - 3 2 - v

Logo, a equação é homogênea!

Passo 3

Agora temos que calcular a solução dessa equação...

Se y = x v , pela regra do produto temos:

d y d x = d x d x v + x d v d x

d y d x = v + x d v d x

Igualando a f v , temos:

d y d x = v + x d v d x = 4 v - 3 2 - v

x d v d x = 4 v - 3 2 - v - v

x d v d x = 4 v - 3 - 2 v + v 2 2 - v

x d v d x = - 3 + 2 v + v 2 2 - v

Separando as variáveis:

2 - v v 2 + 2 v - 3 d v = 1 x d x

Reescrevendo o lado esquerdo em frações parciais, chegamos em:

2 - v v 2 + 2 v - 3 = 1 4 · 1 v - 1 - 5 4 · 1 v + 3

Ou seja:

1 4 · 1 v - 1 - 5 4 · 1 v + 3 d v = 1 x d x

Integrando nos dois lados:

∫ 1 4 · 1 v - 1 - 5 4 · 1 v + 3 d v = ∫ 1 x d x

1 4 ln ⁡ v - 1 - 5 4 ln ⁡ v + 3 = ln ⁡ x + C

Show?

Passo 4

Podemos reorganizar essa equação como:

ln ⁡ v - 1 1 4 v + 3 5 4 = ln ⁡ x + C

Elevando os dois lados a e e aplicando a propriedade das exponenciais:

v - 1 1 4 v + 3 5 4 = C x

Voltando v = y x ...

y x - 1 1 4 y x + 3 5 4 = C x → y x - 1 1 4 = C x y x + 3 5 4

Simplificando os expoentes...

y x - 1 1 4 4 = C x y x + 3 5 4 4

y x - 1 = C x 4 y x + 3 5

E multiplicando ambos os lados por x ...

y - x = C x 5 y + 3 x x 5

y - x = C x 5 y + 3 x 5 x 5

y - x = C y + 3 x 5

Tranquilo até aqui?

Passo 5

C) As retas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:

vermelha – C =2

azul – C = 4

verde – C = 8

roxa - C = 100000

Ou seja, a medida que o valor de C aumenta mais a curva se aproxima da origem. As curvas são simétricas em relação a origem.

Resposta

É Homogenea.

y - x = C y + 3 x 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados