Enunciado

O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,

a substituição y = (x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta

última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x

fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:

(a) Mostre que a equação dada é homogênea.

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação

à origem?

d y d x =   4 y   -   3 x 2 x   -   y

Passo 1

  1. e (b) Antes de determinar o comportamento da solução, precisamos encontrar qual é a solução final da EDO acima, é visto que ela é do tipo que pode separar para calcular a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Vamos fazera substituiçãode y   =   x v .

Assim, temos:

d y d v = y '

y ' = v + x v '

d y d x =   4 y   -   3 x 2 x   -   y

d y d v = 4 x v - 3 x 2 x - x v

d y d v = 4 v - 3 2 - v

d y = 4 v - 3   d v 2 - v

Passo 2

  1. e (b) Quando olhamos a equação, percebemos que agora ela é uma EDO do tipo separável.

Agora para termos uma equação dependendo de y e de v, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d y =   ∫ 4 v - 3   d v 2 - v  

y + c = -   4 v - 5 l n v   -   2 + c '

y = -   4 v - 5   l n   v   -   2 + C

Só que no ínicio consideramos que y   =   x v   →   v   =   y x

Ou seja, temos que:

y = -   4 y x - 5   l n   y x   -   2 + C

y   -   x =   C   ( y   +   3 x ) 5

Passo 3

C) As retas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:

vermelha – C =2

azul – C = 4

verde – C = 8

roxa - C = 100000

Ou seja, a medida que o valor de C aumenta mais a curva se aproxima da origem. As curvas são simétricas em relação a origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

28. Resolva a equação y ' = t y 4–y 1 + t y 0 = y 00 ((a) Determine o comportamento da solução quando t → ∞.(b) Se y0 = 2, encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,
28. Resolva a equação y ' = t y 4–y 1 + t y 0 = y 00 ((a) Determine o comportamento da solução quando t → ∞.(b) Se y 0=2 , encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,
30. Considere a equação d y d x = y - 4 x x - y Mostre que a Eq. (i) pode ser colocada na forma d y d x = y x - 4 1 - y x logo, a Eq. (i) é homogênea.(b) Introduza uma nova variável dependente υ de mo
27. Considere o problema de valor inicial y ' = t y 4–y 3 y 0 = y 0 (a) Determine o comportamento da solução em função do valor inicial y0 quando t aumenta.(b) Suponha que y0 = 0,5. Encontre o instant
30. Considere a equação d y d x = y - 4 x x - y Mostre que a Eq. (i) pode ser colocada na forma d y d x = y x - 4 1 - y x logo, a Eq. (i) é homogênea.(b) Introduza uma nova variável dependente υ de mo