Enunciado

O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,

a substituição y = (x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta

última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x

fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:

(a) Mostre que a equação dada é homogênea.

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação

à origem?

d y d x =   x 2 +   x y   +   y 2 x 2

Passo 1

(a) Vamos mostrar que ela é homogênea! Para isso, precisamos escrever essa EDO na forma:

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Onde P e Q são funções do mesmo grau, beleza? Então, vamos só arrumar essa EDO:

d y d x =   x 2 +   x y   +   y 2 x 2

x 2 d y = ( x 2 +   x y   +   y 2 ) d x

- x 2 +   x y   +   y 2 d x + x 2 d y = 0

Podemos ver que:

P x , y = - x 2 +   x y   +   y 2

Q x , y = x 2

E ambas são funções de mesmo grau! Então, podemos dizer que essa EDO é homogênea, beleza?

Passo 2

(b) Antes de determinar o comportamento da solução, precisamos encontrar qual é a solução final da EDO acima, é visto que ela é do tipo que pode separar para calcular a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Vamos fazera substituiçãode y   =   x u .

Assim, temos:

d y d x = y '

y ' = u + x u '

u + x u ' = x 2 + x x u + x u 2 x 2

u + x u ' = x 2 + x 2 u + x 2 u 2 x 2

u + x u ' = 1   + u +   u 2

x u ' = 1   +   u 2

d u d x = 1   +   u 2 x

Passo 3

(b) Quando olhamos a equação, percebemos que agora ela é uma EDO do tipo separável.

Agora para termos uma equação dependendo de y e de v, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫   d u 1   +   u 2 =   ∫ d x x  

arctan ⁡ u + c = l n x + c '

arctan ⁡ u = l n x + C

tan ⁡ arctan ⁡ u = tan ⁡ l n x + C

u = tan ⁡ l n x + C

Só que no ínicio consideramos que y   =   x u   →   u   =   y x

Ou seja, temos que:

y = x   tan ⁡ l n x + C

Passo 4

C) As curvas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:

Reta verde – C   = 2

Reta azul – C   =   3

Reta cinza – C   =   4

São simétricas em relação a origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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