Enunciado

Se f é homogênea de grau n , mostre que

x^2 (del^2 f)/(del x^2) + 2 x y (del^2 f)/(del x del y) + y^2 (del^2 f)/(del y^2) = n ( n - 1 ) f ( x , y )

Passo 1

Seguindo o mesmo raciocínio da letra (b) da questão 55, mas desta vez vamos derivar duas vezes.

Vamos partir da igualdade da equação da função homogênea

f (t x , t y) = t^n f ( x , y )

Vamos derivar parcialmente os dois lados, duas vezes, em relação a t , olhando primeiramente para o lado direito

(del)/(del t) (t^n f (x , y)) = n t^(n - 1) f (x , y)

Derivando novamente

(del)/(del t) (n t^(n - 1) f (x , y)) = n ( n - 1 ) t^(n - 2) f (x , y)

Então temos

(del^2)/(del t^2) (t^n f ( x , y )) = n ( n - 1 ) t^(n - 2) f (x , y)

Passo 2

Olhando agora para o outro lado

(del)/(del t) (f (t x , t y))

Vamos usar a substituição u = t x e v = t y

(del)/(del t) (f (t x , t y)) = (del)/(del t) (f (u , v))

= (del f)/(del u) (del u)/(del t) + (del f)/(del v) (del v)/(del t) = (del f)/(del u) x + (del f)/(del v) y

Derivando novamente

(del)/(del t) ((del)/(del t) (f (t x , t y))) = (del)/(del t) ((del f)/(del u) x + (del f)/(del v) y)

= ((del^2 f)/(del u^2) (del u)/(del t) + (del^2 f)/(del v del u) (del v)/(del t)) x + ((del^2 f)/(del u del v) (del u)/(del t) + (del^2 f)/(del v^2) (del v)/(del t)) y

= ((del^2 f)/(del u^2) x + (del^2 f)/(del v del u) y) x + ((del^2 f)/(del u del v) x + (del^2 f)/(del v^2) y) y

= (del^2 f)/(del u^2) x^2 + (del^2 f)/(del v del u) x y + (del^2 f)/(del u del v) x y + (del^2 f)/(del v^2) y^2

= (del^2 f)/(del u^2) x^2 + (del^2 f)/(del u del v) 2 x y + (del^2 f)/(del v^2) y^2 = (del^2 f)/(del ( t x )^2) x^2 + (del^2 f)/(del ( t x ) del ( t y )) 2 x y + (del^2 f)/(del ( t y )^2) y^2

Então temos

(del^2)/(del t^2) (f (t x , t y)) = (del^2 f)/(del ( t x )^2) x^2 + (del^2 f)/(del ( t x ) del ( t y )) 2 x y + (del^2 f)/(del ( t y )^2) y^2

Passo 3

Voltando a igualdade

f (t x , t y) = t^n f ( x , y )

(del^2)/(del t^2) (f (t x , t y)) = (del^2)/(del t^2) (t^n f ( x , y ))

(del^2 f)/(del ( t x )^2) x^2 + (del^2 f)/(del ( t x ) del ( t y )) 2 x y + (del^2 f)/(del ( t y )^2) y^2 = n ( n - 1 ) t^(n - 2) f (x , y)

Como a igualdade vale para todos os valores de t , vale também para t = 1 , então

(del^2 f)/(del x^2) x^2 + (del^2 f)/(del x del y) 2 x y + (del^2 f)/(del y^2) y^2 = n ( n - 1 ) f (x , y)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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