Enunciado

Identifique o tipo de seção cônica a qual a equação é dada e encontre os vértices e os focos:

27. x 2 = 4 y - 2 y 2

Passo 1

Vamos separar os termos que possuem x ou y das constantes, nesse caso como não há, o lado direito será 0:

x 2 + 2 y 2 - 4 y = 0

Como os termos quadráticos se somam, a equação é de uma elipse. Vamos escrevê-la na forma padrão, para isso, somamos 2 em ambos os lados:

x 2 + 2 y 2 - 4 y + 2 = 0 + 2

Fazemos fator comum para depois podermos completar quadrados para y:

x 2 + 2 ( y 2 - 2 y + 1 ) = 2

Completando quadrados:

x 2 + 2 ( y - 1 ) 2 = 2

Por final, dividimos tudo por 2:

x 2 2 + y - 2 2 1 = 1

Passo 2

Agora podemos calcular os valores de a e b , pela condição da elipse, a ≥ b , então:

a 2 = 2

a = ± 2

b 2 = 1

b = ± 1

Calculamos agora o valor de c através dos resultados que encontramos:

c = ± a 2 - b 2

c = ± 2 - 1

c = ± 1

Passo 3

Podemos agora encontrar os vértices e os focos da elipse, devemos tomar cuidado com o - 1 na equação da elipse que calculamos, pois ele irá transladar a elipse no eixo y, mudando as coordenadas dos focos e dos vértices. Teremos para os vértices:

± a , 0 + 1 = ( ± 2 ,   1 )

E para os focos:

± c , 0 + 1 = ( ± 1 ,   1 )

Resposta

v é r t i c e s : ( ± 2 ,   1 )

f o c o s : ( ± 1 ,   1 )

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