Enunciado

O que é “impróprio” a respeito de uma integral sobre um intervalo infinito? Explique por que a Definição 5.5 . 1 de ∫ a b f x d x falha com ∫ a + ∞ f x d x . Discuta uma estratégia para associar um valor a ∫ a + ∞ f x d x .

Passo 1

Bom galera, a integral é chamada de imprópria quando ela possui descontinuidade ou um intervalo infinito, o impróprio disso é que ela não pode ser calculada normalmente.

Passo 2

Belezinha, no caso da integral infinita, ao invés utilizarmos a definição (Definição 5.5 . 1 ) de integração normal:

∫ a b f x d x = lim max ⁡ Δ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x k

Isso diz que o resultado da integral é a soma de áreas de intervalos infinitesimais, e no caso de intervalos que tendem para o infinito essa definição falha, isso porque resultaria em ter uma área infinita, já que seria uma área que se estende infinitamente no eixo x , mas infinito pode não ser a resposta, caso a função da integral convirga.

Passo 3

Show de bola galerinha, nessa caso para a gente conseguir encontrar a resposta certa a gente integra primeiro de forma indefinida, e depois aplicamos um limite na função integrada, pois assim, caso a função convirga encontraremos um valor pelo limite, no caso a definição fica:

∫ a + ∞ f x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

Resposta

∫ a + ∞ f x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

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