Enunciado

O índice Shannon (às vezes chamado de índice Shannon-Wiener ou índice Shannon-Weaver) é uma medida da diversidade em um ecossistema. Para o caso de três espécies, é definido como

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - p 3 ln ⁡ p 3

Onde P i é a proporção de espécies i no ecossistema.

(a) Expresse H como uma função de duas variáveis usando o fato de que p 1 + p 2 + p 3 = 1 .

(b) Qual é o dominio de H ?

(c) Encontre o valor máximo de H . Para quais valores de p 1 , p 2 , p 3 ocorre?

Passo 1

Bom galera, vamos isolar p 3 :

p 1 + p 2 + p 3 = 1

→ p 3 = 1 - p 1 - p 2

Ai, a gente só substitui p 3 :

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - p 3 ln ⁡ p 3

→ H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - ( 1 - p 1 - p 2 ) ln ⁡ ( 1 - p 1 - p 2 )

Essa é a nossa função em termos de duas variaveis.

Passo 2

Beleza, pra descobrir o domínio vamos olhar bem a função:

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - p 3 ln ⁡ p 3

Assim:

p 1 > 0

p 2 > 0

p 3 > 0

E com a equação:

p 1 + p 2 + p 3 = 1

A gente percebe que:

0 < p 1 , p 2 , p 3 < 1

Passo 3

Agora a gente calcular quando:

∇ H = 0

Então vamos lá:

H p 1 = - ln ⁡ p 1 - 1 = 0

H p 2 = - ln ⁡ p 2 - 1 = 0

H p 3 = - ln ⁡ p 3 - 1 = 0

Assim encontramos:

p 1 = p 2 = p 3 = 1 3

Agora a gente só substitui em H e achamos:

H = ln ⁡ 3

Resposta

(a)

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - 1 - p 1 - p 2 ln ⁡ 1 - p 1 - p 2

(b)

0 < p 1 , p 2 , p 3 < 1

(c)

Máximo: ln ⁡ 3

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