Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = n   s e n 1 n

Passo 1

Galerinha, uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ n   s e n 1 n

Passo 2

Vamos resolver esse limite??

L = lim n → ∞ ⁡ n   s e n 1 n

Reescrevendo esse limite, temos o seguinte:

L = lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 / n

Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui. Seja 1 n = x . A tendência do limite muda também: como x é o inverso de n , a tendência também será, ou seja, x → 0 . Substituindo no limite, temos:

L = lim x → 0 ⁡ s e n x x

L = lim x → 0 ⁡ s e n x x

Se aplicarmos o limite, vamos cair numa indeterminação 0 0 . Portanto, podemos aplicar a famosa regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital, temos:

L = lim x → 0 ⁡ c o s x 1

L = 1

Resposta

A série converge para 1 !

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