Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 45
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Galerinha, uma sequência tem limite e escrevemos
se conseguirmos fazer os termos de chegarem mais próximos de usando um valor para suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!
Passo 2
Vamos resolver esse limite??
Reescrevendo esse limite, temos o seguinte:
Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui. Seja . A tendência do limite muda também: como é o inverso de , a tendência também será, ou seja, . Substituindo no limite, temos:
Se aplicarmos o limite, vamos cair numa indeterminação . Portanto, podemos aplicar a famosa regra de L’Hospital.
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hospital, temos:
Resposta
A série converge para !