Enunciado

As alturas das ondas h em mar aberto dependem da velocidade v do vento e do período de tempo t em que o vento sopra nessa velocidade. Os valores da função h = f ( v , t ) são registrados em pés na tabela a seguir.

(a)Quais são os significados das derivadas parciais ∂ h ∂ t ?

(b)Estime os valores de f v 40,15 e f t = 40,15 . Quais são as interpretações práticas desses valores?

(c) Qual é o valor do seguinte limite?

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t

Passo 1

Bom galera, vamos pensar sobre a unidade da derivada partial, que é de certa forma:

Δ h Δ t = V a r i a ç ã o   d a   a l t u r a   d a s   o n d a s V a r i a ç ã o   d o   t e m p o   q u e   o   v e n t o   s o p r a

Ou seja, essa derivada diz a variação da altura da onda para cada periodo diferente de tempo que o vento soprar.

Passo 2

Beleza, agora vamos encontrar: f v 40,15 e f t = 40,15

Bom, com a definição de derivada ficamos com:

f v 40,15 = lim h → 0 ⁡ f 40 + h , 15 - f ( 40,15 ) h

f t 40,15 = lim h → 0 ⁡ f 40 , 15 + h - f ( 40,15 ) h

Vamos começar por f v na tabela a gente olha e vemos que podemos aproximar nos aproximar de v = 40 por v = 50 e v = 30 , então essa variação é o mesmo que dizer que h = 10 e - 10 .

E depois pegamos os valos tabelados.

f v 40,15 = f 40 + 10 , 15 - f 40,15 10 = 36 - 25 10 = 1.1

f v 40,15 = f 40 - 10 , 15 - f ( 40,15 ) - 10 = 16 - 25 - 10 = 0.9

Pemagos a media entre os dois e consideramos que:

f v ≈ 1

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo com f t , podemos aproximar nos aproximar de t = 15 por t = 2 0 e t = 1 0 , então essa variação é o mesmo que dizer que h = 5 e - 5 .

E depois pegamos os valos tabelados.

f t 40,15 = f 40,15 + 5 - f ( 40,15 ) 5 = 28 - 25 5 = 0.6

f t 40,15 = f 40,15 - 5 - f ( 40,15 ) - 5 = 21 - 25 - 5 = 0.8

A média fica:

f t ≈ 0.7

f v diz a variação da altura da onda por uma unidade de variação de velocidade quando v = 40 e t = 15 .

E f v diz a variação da altura da onda por uma unidade de variação de tempo quando v = 40 e t = 15 .

Passo 4

Falta então calcularmos o limite:

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t

Isso é a variação da altura daonda quando o tempo é infinitamente grande e a velocidade do vento é mantida constante.

Quando a gente olha a tabela, percebemos que a variação entre as alturas vão diminuindo conforme aumenta t , podemos deduzir que uma hora h ficará constante, com a h constante, sua defivada em função do tempo é 0 , logo:

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

Resposta

(a)

Variação da altura da onda para cada periodo diferente de tempo que o vento soprar.

(b)

f v ≈ 1

f t ≈ 0.7

f v diz a variação da altura da onda por uma unidade de variação de velocidade quando v = 40 e t = 15 .

E f v diz a variação da altura da onda por uma unidade de variação de tempo quando v = 40 e t = 15 .

(c)

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

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