Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

5.

∫ 0 3 2 d x 9 - x 2

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição

x = 3 s e n ѳ d x = 3 c o s ѳ   d ѳ

E nossa integral fica o seguinte

∫ 1 9 - 9 s e n 2 ѳ 3 cos ⁡ ѳ   d ѳ

Passo 3

Agora podemos colocar o 3 em evidência

∫ 1 3 1 - s e n 2 ѳ 3 cos ⁡ ѳ   d ѳ = ∫ cos ⁡ ѳ   1 - s e n 2 ѳ   d ѳ

Passo 4

Mas sabemos que

1 - s e n 2 ѳ = cos ⁡ ѳ

Então

∫ cos ⁡ ѳ   1 - s e n 2 ѳ   d ѳ =   ∫ cos ⁡ ѳ   cos ⁡ ѳ   d ѳ = ∫ d ѳ

Então o resultado da integral é

∫ d ѳ = ѳ

Passo 5

Mas sabemos que

x = 3 s e n   ѳ

Então

ѳ = a r c s e n   x 3

Logo

ѳ = a r c s e n x 3 0 3 2 = a r c s e n 1 2 - a r c s e n 0 = π 6 - 0 = π 6

Resposta

π 6

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