Enunciado

A instrução para a integral ∫ - 1 1 ( x 2 + 1 )   d x , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.

Passo 1

Para a realização desta questão é pertinente que relembremos a regra do trapézio e a regra de Simpson para integrais.

A regra do trapézio utiliza de trapézios no lugar de retângulos para estimar uma integral definida f, de a até b. Além disso, calculamos T no lugar da integral f, sendo T dado por:

T = ∆ x 2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn)

A regra de Simpson utiliza um sistema de troca parecido, no entanto, são usadas parábolas. E para o seu cálculo apresentamos a letra S no lugar da integral f, sendo S dado por:

S = ∆ x 3   (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + ... + 2yn-2 + 4yn-1 + yn)

OBS: O tamanho da malha (comprimento do subintervalo), é relacionado por: ∆ x = (b – a)/n

Passo 2

| ET | ≤   ( b - a ) 12 m( ∆ x ) 2.

(a) ∆ x = ( 1   –   ( -   1 ) ) 4 = 1 2

T = 1 / 2 2 (2 + 2 * 5 4 + 2 * 1 + 2 * 5 4 + 2)

T = 1 4 (2 + 5 2 + 2 + 5 2 + 2)

T = 1 4 (11) = 11 4

f(x) = x2 + 1 => f’(x) = 2x => f”(x) = 2;

Logo o M = 2 e | ET | ≤   ( 1 - ( - 1 ) ) 12 2 1 2 2 = 1 12

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f”(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na segunda derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ET | ( p e l a   f ó r m u l a   | ET | = ∫ a b f x   d x – T).

(b) ∫ - 1 1 x 2 + 1 dx

= x 3 3 + x - 1 1

        =   1 3 3 + 1 - ( - 1 ) 3 3 + ( - 1 )

= 4 3 + 4 3 = 8 3

| ET | = ( ∫ - 1 1 x 2 + 1   d x ) – T = 8 3 - 11 4 = -   1 12 = 1 12

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E T |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 1 / 12 8 / 3 * 100 ≈ 3%

Passo 3

| ES | ≤   ( b - a ) 180 m( ∆ x ) 4.

(a) ∆ x = ( 1   – -   1 ) 4 = 1 2

S = 1 / 2 3 (2 + 4 * 5 4 + 2 * 1 + 4 * 5 4 + 2)

S = 1 6   (2 + 5 + 2 + 5 + 2)

S = 1 6 (16) = 8 3

f(x) = x 2 + 1 => f’(x) = 2x => f”(x) = 2 => f(4)(x) = 0

Logo o M = 0 e | ES | = 0

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f(4)(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na quarta derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ES | ( p e l a   f ó r m u l a   | ES | = ∫ a b f x   d x – S).

(b) ∫ - 1 1 x 2 + 1 dx

= x 3 3 + x - 1 1

        =   1 3 3 + 1 - ( - 1 ) 3 3 + ( - 1 )

= 4 3 + 4 3 = 8 3

| ES | = ( ∫ - 1 1 x 2 + 1   d x ) – S = 8 3 - 8 3 = 0

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E S |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 0 8 / 3 * 100 = 0%

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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