Enunciado

A instrução para a integral ∫ - 2 0 ( x 2 - 1 )   d x , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.

Passo 1

Para a realização desta questão é pertinente que relembremos a regra do trapézio e a regra de Simpson para integrais.

A regra do trapézio utiliza de trapézios no lugar de retângulos para estimar uma integral definida f, de a até b. Além disso, calculamos T no lugar da integral f, sendo T dado por:

T = ∆ x 2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn)

A regra de Simpson utiliza um sistema de troca parecido, no entanto, são usadas parábolas. E para o seu cálculo apresentamos a letra S no lugar da integral f, sendo S dado por:

S = ∆ x 3   (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + ... + 2yn-2 + 4yn-1 + yn)

OBS: O tamanho da malha (comprimento do subintervalo), é relacionado por: ∆ x = (b – a)/n

Passo 2

| ET | ≤   ( b - a ) 12 m( ∆ x ) 2.

(a) ∆ x = ( 0   –   ( -   2 ) ) 4 = 1 2

T = 1 / 2 2 (3 + 2 * 5 4 + 2 * 0 + 2 *   - 3 4 + (-1))

T = 1 4 (3 + 5 2 + 0 + - 3 2 + (- 1))

T = 1 4 (3) = 3 4

f(x) = x2 – 1 => f’(x) = 2x => f”(x) = 2;

Logo o M = 2 e | ET | ≤   ( 0 - ( - 2 ) ) 12 2 1 2 2 = 1 12

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f”(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na segunda derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ET | ( p e l a   f ó r m u l a   | ET | = ∫ a b f ( x )   d x – T).

(b) ∫ - 2 0 x 2 - 1 dx

= x 3 3 - x - 2 0

        =   0 3 3 - 0 - ( - 2 ) 3 3 - ( - 2 )

= 0 -   - 2 3 = 2 3

| ET | = ( ∫ - 2 0 x 2 - 1   d x ) – T = 2 3 - 3 4 = -   1 12 = 1 12

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E T |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 1 / 12 2 / 3 * 100 ≈ 13%

Passo 3

| ES | ≤   ( b - a ) 180 m( ∆ x ) 4.

(a) ∆ x = ( 0   – -   2 ) 4 = 1 2

S = 1 / 2 3 (3 + 4 * 5 4 + 2 * 0 + 4 * - 3 4 + (-1))

S = 1 6   (3 + 5 + 0 + (-3) + (-1))

S = 1 6 (4) = 2 3

f(x) = x 2 - 1 => f’(x) = 2x => f”(x) = 2 => f(4)(x) = 0

Logo o M = 0 e | ES | = 0

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f(4)(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na quarta derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ES | ( p e l a   f ó r m u l a   | ES | = ∫ a b f ( x ) d x – S).

(b) ∫ - 2 0 x 2 - 1 dx

= x 3 3 - x - 2 0

        =   0 3 3 - 0 - ( - 2 ) 3 3 - ( - 2 )

= 0 -   - 2 3 = 2 3

| ES | = ( ∫ - 2 0 x 2 - 1   d x ) – S = 2 3 - 2 3 = 0

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E S |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 0 2 / 3 * 100 = 0%

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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