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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 68

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Quais das integrais impróprias convergem e quais divergem?

∫ - ∞ ∞ d x x 2 ( 1 + e x )  

Passo 1

Fala ai!!

Como temos um dos limites de integração - ∞ e ∞, estamos diante de uma integral imprópria.

Quando temos ∫ a ∞ f ( x )   d x teremos que calcular o limite. Assim:

lim a → ∞ ⁡ ∫ a b f x   d x

Se o limite existir, isto é, for um número finito dizemos que a integral é convergente. Se ao calcular o limite encontramos ± ∞ , então dizemos que é divergente.

Então vamos calcular a integral dada? Para isso, vamos lembrar da seguinte propriedade das integrais:

∫ a b f x d x +   ∫ b c f x d x =   ∫ a c f x d x

Assim, vamos reescrever a integral dada, beleza?

∫ - ∞ ∞ d x x 2 ( 1 + e x ) =   ∫ - ∞ 1 d x x 2 ( 1 + e x ) +   ∫ - 1 0 d x x 2 ( 1 + e x ) +   ∫ 0 1 d x x 2 ( 1 + e x ) +   ∫ 1 ∞ d x x 2 ( 1 + e x )

Passo 2

Agora, vamos aplicar o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 x 2 x 2 ( 1 + e x ) =   lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 + e x ) x 2 =   lim x → 0 ⁡ 1 + e x =   2

Agora, observe:

∫ 0 1 d x x 2 =   ∞   ∴ D i v e r g e

Isso implica que ∫ 0 1 d x x 2 ( 1 + e x ) =   ∞   ( d i v e r g e ) , que implica que ∫ - ∞ ∞ d x x 2 ( 1 + e x ) =   ∞   ( d i v e r g e )

Portanto a integral é divergente

Resposta

Divergente

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