Enunciado

Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = int_0^(oo) (e^(- sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x = underset(a -> 0)(l i m) int_a^1 (e^(- sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x + underset(b -> oo)(l i m) int_1^b (e^(- sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = - sqrt(x) , tal que d u = - (d x)/(2 sqrt(x)) e a integral se dará por:

int e^u (- 2 d u) = - 2 e^u

Retornando à variável original:

I = underset(a -> 0)(l i m) [- 2 e^(- sqrt(x))] | [[1],[a]] + underset(b -> oo)(l i m) [- 2 e^(- sqrt(x))] | [[b],[1]]

Substituindo os limites de integração:

I = (- 2) [underset(a -> 0)(l i m) (e^(- 1) - e^(- sqrt(a))) |[[1],[a]] + underset(b -> oo)(l i m) (e^(- sqrt(b)) - e^(- 1))| [[b],[1]]] = (- 2) [(- 1) + (0)]

I = 2

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, como o limite existe, a integral é convergente.

Resposta

int_0^(oo) (e^(- sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x = 2

A integral é convergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule: ∫ - ∞ 0 x e - x 2d x
4. Calcule int_1^(oo) (1)/(x^(alpha)) d x , onde alpha é um numero real.
Calcule: ∫ 0 + ∞ x 1 + x 4d x
Determine m para que ∫ - ∞ + ∞ f xd x = 1 onde f x = ms ex ≤ 3 0s ex3
Calcule:int_(- oo)^(- 1) (1)/(root(3)(x)) d x