Enunciado

Investigue a família de curvas dadas pela equação f x = x 4 + c x 2 + x . Comece determinando o valor de transição de c em que o número de pontos de inflexão muda. Faça então o gráfico de vários membros da família para ver quais formas são possíveis. Existe outro valor de transição de no qual a quantidade de números críticos muda. Tente descobrir isso graficamente. Demonstre então o que você descobriu.

Passo 1

Para c = 0 , não há ponto de inflexão; a curva é côncava para cima em toda a parte. Se c aumenta, a curva simplesmente se torna mais íngreme, e ainda não há pontos de inflexão. Se c começa em 0 e decresce, uma leve protuberância para cima aparece perto de x = 0 , então ali há dois pontos de inflexão para qualquer c < 0 . Isso pode ser visto algebricamente calculando a segunda derivada:

f x = x 4 + c x 2 + x

f ' x = 4 x 3 + 2 c x + 1

f ' ' x = 12 x 2 + 2 x

Então, f ' ' x > 0 quando c > 0 .

Para c < 0 , há pontos de inflexão quando f ' ' x = 0 ↔ x = ± - 1 6 c .

Passo 2

Quando c = 0 , o gráfico tem um número crítico, no mínimo absoluto em algum lugar em torno de x = - 0.6 . Conforme c cresce, o número de pontos críticos não muda. Se c ao invés disso decrescer a partir de 0 , nós vemos que o gráfico eventualmente aparece outro mínimo local, à direita da origem, em algum lugar entre x = 1 e x = 2 . Consequentemente, há também um máximo perto de x = 0 .

Passo 3

Depois de um pouco de experimentação, nós encontramos que em c = - 1.5 , parece haver dois pontos críticos, o mínimo absoluto em x = - 1 , e a tangente horizontal com nenhum valor extremo em x = 0.5 .

Para qualquer c menor que esse, haverá três pontos críticos, como mostrado no gráfico com c = - 3 , e com c = - 5 :

Para provar isso algebricamente, nós calculamos f ' x = 4 x 3 + 2 c x + 1 . Agora, se nós substituirmos nosso valor de c = - 1.5 , a fórmula para f ' ( x ) se torna f ' x = 4 x 3 - 3 x + 1 = ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) ² . Isso tem uma raiz dupla em x = 1 2 , indicando que a função tem dois pontos críticos: x = - 1 e x = 1 2 . Assim como se nós tivéssemos adivinhado do gráfico.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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