Enunciado

Investigue a família de curvas definidas pelas equações paramétricas

x = t 2

y = t 3 - c t

Como muda o formato quando c aumenta? Ilustre traçando vários membros da família com o auxílio de uma ferramenta gráfica.

Passo 1

Bom, vamos tentar fazer o valor de c variar e ver as curvas que temos:

Começando com c = 0

x = t 2

y = t 3

Vamos isolar o t na primeira equação para substituir na segunda e encontrar a equação cartesiana dessa curva para podermos plotar.

t = x = x 1 2

Substituindo na equação do y :

y = x 1 2 3 = x 3 2

Plotando isso com uma ferramenta gráfica, temos:

Passo 2

Agora vamos fazer c > 0 , por exemplo, c = 1 :

x = t 2

y = t 3 - t

Isolando t na primeira equação:

t = x = x 1 2

Substituindo na equação do y :

y = x 3 2 - x 1 2

Plotando isso, com auxílio de uma ferramenta gráfica:

Passo 3

Vamos continuar com c > 0 , porém em vez de pular para c = 2 , vamos para um valor de c maior, para vermos se tem alguma diferença significativa. Por exemplo, c = 4 .

x = t 2

y = t 3 - 4 t

Substituindo t = x 1 2 na equação do y :

y = x 3 2 - 4 x 1 2

Plotando isso, com auxílio de uma ferramenta gráfica:

Vemos que o que acontece é que a barriguinha do gráfico fica bem maior. Então a medida que aumentamos nosso c > 0 , a “barriga” do gráfico aumenta.

Passo 4

Agora vamos tentar c < 0 , começando com c = - 1 :

x = t 2

y = t 3 + t

Isolando t na primeira equação:

t = x = x 1 2

Substituindo na equação do y :

y = x 3 2 + x 1 2

Plotando isso, com auxílio de uma ferramenta gráfica:

Repara que o gráfico ficou semelhante com o primeiro gráfico, só que um pouco mais retilineizado.

Passo 5

Continuando com c < 0 , agora vamos testar c = - 5 :

x = t 2

y = t 3 + 5 t

Substituindo t = x 1 2 na equação do y :

y = x 3 2 + 5 x 1 2

Plotando isso, com auxílio de uma ferramenta gráfica:

Mais retilineizado ainda!

Passo 6

Agora, antes de plotarmos todas as curvas juntas, vamos pensar o seguinte. Como desenhamos nossas curvas a partir das equações cartesianas que elas representam, nossas curvas estão amarradas à imagem das funções cartesianas. Que não necessariamente são as imagens das curvas.

A questão não deixou claro, mas vamos assumir que o parâmetro t das curvas possa valer qualquer coisa, ou seja, t ∈ R . Dessa forma, o que a gente desenhou aí foi só metade das nossas curvas, representadas por essas funções. Mas a curva mesmo é o dobro disso, ou seja, ainda temos que rebater o que tá desenhado aí em relação ao eixo x . (não pode ser em relação ao eixo y porque nossas funções nem estão definidas para x < 0 ).

Aí plotando tudo junto e rebatendo a gente fica com um negócio meio lokao assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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