Enunciado

Trace a curva em uma janela retangular que mostre todos os aspectos importantes da curva

x = t 4 - 2 t 3 - 2 t 2

y = t 3 - t

Passo 1

Pra começar, WTF de questão é essa???

Como assim todos os aspectos importantes da curva? Custava dizer o que ela queria???

Bom, enfim, mas vamos entender que ela considera como importante que a gente mostre pontos em que a reta tangente da curva é horizontal e vertical.

E já que a questão não deixa muito claro como ela quer que a gente faça isso, vamos calcular os pontos em que a curva tem retas tangentes horizontais e verticais e depois a gente plota nossa curva de modo a mostrar esses pontos, beleza?

Passo 2

Vamos começar pelos pontos onde nossa reta tangente é horizontal.

Isso ocorre quando

d y d t = 0

Então, vamos fazer aquela mesma ladainha de sempre: achar essa derivada, igualar a zero para encontrar o valor de t em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva para encontrar o ponto correspondente.

Passo 3

y = t 3 - t

d y d t = 3 t 2 - 1 = 0

t 2 = 1 3

t = ± 1 3

Passo 4

Substituindo t = ± 1 3 na parametrização da curva, temos:

x ± 1 3 = ± 1 3 4 - 2 ± 1 3 3 - 2 ± 1 3 2 = - 0,9   o u - 0,17

y ± 1 3 = ± 1 3 3 - ± 1 3 = - 0,38   o u   0,38

Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos

P 1 = ( - 0 , 9 ; - 0 , 38 )

P 2 = ( - 0 , 17 ; 0,38 )

Passo 5

Agora vamos ver os pontos onde a reta tangente é vertical.

x = t 4 - 2 t 3 - 2 t 2

d x d t = 4 t 3 - 6 t 2 - 4 t = 0

2 t 2 t 2 - 3 t - 2 = 0

2 t 2 t + 1 t - 2 = 0

Assim,

t = 0

t = - 1 2

t = 2

Passo 6

Substituindo t = 0 na parametrização da curva, temos:

x 0 = 0 4 - 2 0 3 - 2 0 2 = 0

y 0 = 0 3 - 0 = 0

Substituindo t = - 1 2 na parametrização da curva, temos:

x - 1 2 = - 1 2 4 - 2 - 1 2 3 - 2 - 1 2 2 = - 0,19

y - 1 2 = - 1 2 3 - - 1 2 = 0 , 4

Substituindo t = 2 na parametrização da curva, temos:

x 2 = 2 4 - 2 2 3 - 2 2 2 = - 8

y 2 = 2 3 - 2 = 6

Portanto, a reta tangente é vertical nos pontos

P 3 = ( 0,0 )

P 4 = ( - 0,19   ; 0,4 )

P 5 = ( - 8 , 6 )

Passo 7

Show, agora a gente tem que plotar a nossa curva num gráfico que mostre todos esses pontos.

Para isso, precisamos que o intervalo de variação do nosso parâmetro t abranja os valores de t para os quais a curva tem retas tangentes horizontais e verticais.

Esses valores de t são

t = ± 1 3

t = 0

t = - 1 2

t = 2

O menor valor de todos é

t = - 1 2

E o maior valor de todos é

t = 2

Então vamos fazer um gráfico com

t ∈ [ - 1,5   ; 2,5 ]

Pra termos uma folguinha...

PS: não fica chateado comigo por ter calculado os pontos exatos onde as retas tangentes horizontais e verticais ocorrem. A gente não precisava necessariamente ter feito isso, mas é bom ter feito pra você poder olhar no gráfico agora e confirmar que nesses pontos de fato tem retas tangentes horizontais e verticais.

Passo 8

Tá, agora vamos plotar nossa curva:

x = t 4 - 2 t 3 - 2 t 2

y = t 3 - t

t ∈ [ - 1 , 5   ; 2,5 ]

Essa janela aí acabou sendo uma janela quadrada 8 × 8 . Mas podemos dar um zoom nisso pra vc conseguir ver melhor os outros pontos também.

E agora ficamos com uma janela retangular que você consegue ver aqueles pontos que eram menores mais de pertinho.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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