Enunciado

  1. Investigue a família de curvas definidas pelas equações polares r = sen ⁡ n θ , onde n é um inteiro positivo. Como o número de laços está relacionado a n ?
  2. O que aconteceria se a equação na parte (a) fosse trocada por r = | sen ⁡ n θ | ?

Passo 1

O enunciado da questão nos dá uma noção de que o gráfico de r = sen ⁡ n θ vai ter alguns laços e nos pede pra investigar esses laços no item a. E no item b vamos analisar esses gráficos com o valor do seno em módulo.

Para analisar esses gráficos, vamos cria-los em uma ferramenta gráfica.

Passo 2

  1. Para iniciar a análise, vamos olhar gráficos para alguns valores de n :
  • n = 1 ,   r = sen ⁡ θ
  • n = 2 ,   r = sen ⁡ 2 θ
  • n = 3 ,   r = sen ⁡ 3 θ
  • n = 4 ,   r = sen ⁡ 4 θ
  • n = 5 ,   r = sen ⁡ 5 θ
  • n = 6 ,   r = sen ⁡ 6 θ
  • Creio que com esses gráficos já da pra tirar uma conclusão.

    Para n ímpar o número de laços é igual a n , podemos ver isso nos gráficos com n igual a 1 ,   3 e 5 . Já para n par o número de laços é o dobro de n , como podemos ver com n igual a 2 ,   4 e 6 .

    Escrevendo de uma forma mais elegante, se chamarmos o número de laços de N teremos que

    N = n , para n = 2 k + 1 ,   k ∈ N

    N = 2 n , para n = 2 k , k ∈ N

    Passo 3

  • Vamos novamente dar uma olhada nos gráficos para alguns valores de n
  • n = 1 ,   r = | sen ⁡ θ |
  • n = 2 ,   r = | sen ⁡ 2 θ |
  • n = 3 ,   r = | sen ⁡ 3 θ |
  • n = 4 ,   r = | sen ⁡ 4 θ |
  • n = 5 ,   r = | sen ⁡ 5 θ |
  • n = 6 ,   r = | sen ⁡ 6 θ |

Comparando os gráfico de   r = | sen ⁡ n θ | com r = sen ⁡ n θ , para números pares de n não temos diferenças, mas para números impares temos sim. Quando colocamos o módulo na equação, para todos os valores de n temos que o número de laços é o dobro de n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r 2 = - cos ⁡ θ
Desenhe as lemniscatas nos Exercícios 13-16. Quais simetrias essas curvas têm? r 2 = 4 sen ⁡ 2 θ
Desenhe as lemniscatas nos Exercícios 13-16. Quais simetrias essas curvas têm? r 2 = 4 cos ⁡ 2 θ