Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 1 - 3 cos theta

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.

Passo 2

Primeiramente calculamos valores de r para alguns valores de theta :

r (theta) = 1 - 3 cos theta

Vamos calcular para 0 , (pi)/(2) , pi , (3 pi)/(2) e 2 pi

r (0) = 1 - 3 cos 0 = 1 - 3 = - 2

Neste ponto você deve ter achado estranho, uma “distância negativa”, mas para construção de gráfico vamos apenas assumir que essa é uma distância no sentido contrário.

r ((pi)/(2)) = 1 - 3 cos (pi)/(2) = 1 - 3 * 0 = 1

r (pi) = 1 - 3 cos pi = 1 - 3 (- 1) = 1 + 3 = 4

r ((3 pi)/(2)) = 1 - 3 cos ((3 pi)/(2)) = 1 - 3 * 0 = 1

r (2 pi) = 1 - 3 cos 2 pi = 1 - 3 = - 2

Passo 3

Agora precisamos saber como a função se comporta entre esses ângulos, para isso vamos analisar a função r = 1 - 3 cos theta , analisando primeiramente o cos theta depois a função por completo.

Com theta entre 0 e (pi)/(2) para descobrir a variação do cos theta basta substituir os valores, portanto ele varia de 1 à 0 , para saber a variação de r é a mesma ideia, então r varia de - 2 à 1 .

Utilizando a mesma idéia, para theta entre (pi)/(2) e pi , o r varia de 1 até 4 , para theta entre pi e (3 pi)/(2) , o r varia de 4 até 1 e para theta entre (3 pi)/(2) e 2 pi , o r varia de 1 até - 2 .

Desta forma o nosso gráfico começa com uma angulação de 0 à uma distancia de “ - 2 ” da origem e até 90 º ou (pi)/(2) essa distancia aumenta até 1 , até pi ela aumenta de novo ate 4 , até (3 pi)/(2) ela diminui para 1 novamente e diminui até retornar à 0 ou 2 pi para “ - 2 ”.

Desenhando no plano fica algo assim:

Podemos também desconsiderar o pontos com r < 0 então ficaria assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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