Enunciado

Calcule a integral.

∫ - 1 1 x 100 d x

Passo 1

Oi, galera! Nesse exercício precisamos calcular a integral

∫ - 1 1 x 100 d x .

Para isso, vamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Você se lembra dela? Se não, sem problemas! Saca só:

  • Se F é uma primitiva de f , ou seja, se F ' = f , então
  • ∫ a b f x d x = F x ​ a b =   F b - F a .

    Observe que no nosso caso a = - 1 , b = 1 e f x = x 100 .  

    Então, precisamos apenas encontrar uma primitiva F da função f   e fazer as contas necessárias, beleza? Pra isso, vamos utilizar a Regra da Potência:

  • Para n ≠ - 1 , uma primitiva da função x n é

F x = x n + 1 n + 1 .

Já temos tudo o que precisamos, vamos calcular essa integral 🤓?

Passo 2

Começamos encontrando uma primitiva da função

f x = x 100 .

Aplicando a Regra da Potência, temos que

F x = x 100 + 1 100 + 1 = x 101 101

é uma primitiva da função f .

Logo, como pela Parte 2 do Teorema Fundamental temos que

∫ - 1 1 f ( x ) d x = F 1 - F - 1 ,

e temos também que

F 1 = 1 101 101 = 1 101

e

F - 1 = - 1 101 101 = - 1 101 ,

então o valor da integral é

∫ - 1 1 x 100 d x = 1 101 - - 1 101 = 2 101 .

Resposta

O valor da integral é

∫ - 1 1 x 100 d x = 2 101 .

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