Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   1 ] , y varia de 2 x a x + 1 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ 1 ,   2 x ≤ y ≤ x + 1

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = y - 1

E

x = y 2

Então, dividindo a figura em duas partes e redefinindo essas inequações, tem-se:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

∫ 0 1 ∫ 2 x x + 1 f x ,   y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 y / 2 f x ,   y d x d y + ∫ 1 2 ∫ y - 1 y / 2 f x ,   y d x d y

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 y / 2 f x ,   y d x d y + ∫ 1 2 ∫ y - 1 y / 2 f x ,   y d x d y

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