Enunciado

11.11. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da serie

∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n n x n

Passo 1

A gente pode começar fazendo o teste da razão.

Temos que

a n = - 1 n 4 n n x n

Então

a n + 1 = - 1 n + 1 4 n + 1 n + 1 x n + 1

Passo 2

Agora a gente faz

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = - 1 n + 1 4 n + 1 x n + 1 n + 1 ⋅ n - 1 n 4 n x n

E isso vai dar

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n n + 1 ⋅ 4 x = 4 x = 4 x

Pelo teste da razão a série   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n n x n converge quando

4 x < 1 ↔ x < 1 4

Então o raio é R = 1 4 .

Passo 3

Agora vamos ver o intervalo de convergência. Vamos verificar os pontos de extremidade.

Quando x = 1 4 , a série converge pelo teste da série alternada.

O teste da série alternada diz que a série é convergente se a n + 1 ≤ a n e a n → 0 , n → ∞ a série é convergente.

Quando x = - 1 4 a série diverge, porque é uma p-série com p = 1 2 ≤ 1 .

Então o intervalo de convergência é

- 1 4 , 1 4

Resposta

R = 1 4

I = - 1 4 , 1 4

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