Enunciado

Utilize coordenadas cilíndricas.

Calcule ∭ E x d V , onde E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 3 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Show de bola, galera....Pra resolver essa questão não tem mistério.

Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas cilíndricas...As relações entre coordenadas cilíndricas r , θ , z e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Beleza...Agora vamos analisar o enunciado e traduzir as informações que ele nos fornece em termos de coordenadas cilíndricas. Vamos lá?

Passo 2

Sabendo que x = r cos ⁡ θ e que y = r sen ⁡ θ , traduzimos a informação de que a região está entre os cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 como sendo:

4 ≤ x 2 ⏟ r cos ⁡ θ 2 + y 2 ⏟ r sen ⁡ θ 2 ≤ 9

2 2 ≤ r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ≤ 3 2

Assim:

2 ≤ r ≤ 3

A informação de que a região está entre os planos z = 0 e z = x + y + 3 pode ser traduzida da seguinte forma:

0 ≤ z ≤ x + y + 3

0 ≤ z ≤ r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ + 3

Além disso, como não temos restrição para o ângulo θ , temos que:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, ficamos com a seguinte integral:

∭ E x d V = ∫ 0 2 π ∫ 2 3 ∫ 0 r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ + 3 r cos ⁡ θ r d z d r d θ

Passo 3

Calculando a integral:

∭ E x d V = ∫ 0 2 π ∫ 2 3 ∫ 0 r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ + 3 r cos ⁡ θ r d z d r d θ ⏟ d V =

= ∫ 0 2 π ∫ 2 3 r 2 cos ⁡ θ r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ + 3 d r d θ

∭ E x d V = ∫ 0 2 π ∫ 2 3 r 3 cos 2 ⁡ θ d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 2 3 r 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d r d θ + 3 ∫ 0 2 π ∫ 2 3 r 2 cos ⁡ θ d r d θ

∭ E x d V = θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 0 2 π ⏟ π ∙ r 4 4 2 3 ⏟ 65 4 + sen 2 ⁡ θ 2 0 2 π ⏟ 0 ∙ r 4 4 2 3 ⏟ 65 4 + 3 sen ⁡ θ 0 2 π ⏟ 0 ∙ r 3 3 2 3 ⏟ 19 3 = 65 π 4

Resposta

∭ E x d V = 65 π 4

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Estabeleça a integral tripla de uma função contínua arbitrária f x , y , z em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.
Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 / 2 d z d y d x
Utilize as coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E e z d V , onde E está delimitado pelo paraboloide z = 1 + x 2 + y 2 , pelo cilindro x 2 + y 2 = 5 e pelo plano x y .
Calcular ∭ T d V , onde T é a região limitada por x 2 + y 2 = 4 e y 2 + z 2 = 4 .
Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = - 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .