Enunciado

A Lei de Gravitação de Newton diz que a intensidade F da força exercida por um corpo e massa m sobre um corpo de massa M é

F = G m M r 2

Em que G é a constante gravitacional e r é a distância entre os corpos.

  1. Se o corpos estão se movendo, encontre d F / d r e explique seu significado. O que o sinal de menos indica?
  2. Suponha que seja conhecido que a Terra atrai um objeto com uma força que decresce a uma taxa de 2   N / k m   quando r = 20000 k m . Quão rápido essa força varia quando r = 10000 k m   ?

Passo 1

Opa! Bora resolver essa questão! O enunciado nos dá a Lei de Gravitação de Newton:

F = G m M r 2

Em que G é a constante gravitacional e r é a distância entre os corpos.

Sabendo disso na letra (a) temos que calcular d F / d r . Pra isso basta derivarmos F :

F = ( G m M ) ⋅ r - 2

d F d r = G m M ⋅ - 2 ⋅ r - 3 = - 2 G m M r 3

d F / d r significa a taxa de variação de F quando ocorre uma variação infinitesimal em r . O sinal de menos explica que se os corpos estão se afastando, a força exercida pelo corpo de massa m sobre um corpo de massa M vai diminuindo.

Passo 2

O enunciado diz que a terra atrai um objeto com uma força que decresce a uma taxa de 2   N / k m   quando r = 20000 k m , ou seja:

d F d r r = 20000 k m = 2 N / k m

A partir disso vamos calcular quão rápido essa força varia quando r = 10000 k m .   Com a derivada acima podemos calcular o valor da contante G m M . Então, ficamos com:

d F d r = - 2 G m M r 3 = 2

- G m M 20000 3 = 1

G m M = - 8 x 10 12

Agora basta substituirmos G m M e r = 10000 k m na expressão de d F / d r . Então, ficamos com:

d F d r = - 2 G m M r 3 = 16 x 10 12 10000 3 = 16   N / k m    

Prontinho!

Resposta

  1. d F d r = - 2 G m M r 3

d F d r = 16   N / k m

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