Enunciado

A leitura do odômetro de uma motocicleta em intervalos de 12 segundos é mostrada na tabela a seguir.

  1. Estime a distância percorrida pela motocicleta durante esse período, usando a velocidade no começo dos intervalos de tempo.
  2. Dê outra estimativa usando a velocidade no fim dos intervalos de tempo.
  3. As estimativas feitas nas partes (a) e (b) são estimativas superior e inferior? Explique.

Passo 1

Queremos calcular a distancia total percorrida pelo corredor no intervalo de tempo dado. Para cada intervalo de tempo de 12 s, podemos supor que a velocidade é constante, e então calcular a distância em cada intervalo como d = v Δ t = 12 v . Podemos fazer isso de duas formas: ou dizemos que a velocidade em um intervalo é a velocidade do inicio do intervalo ou a do final. Por exemplo, para o tempo de t = 0 até t = 12   s , podemos dizer que a velocidade é v 0 = 30 ou v 12 = 28 pés/s. Vamos calcular das duas maneiras, e então tentar comparar com o valor real (que não da pra saberquanto é) da distancia percorrida.

Passo 2

(a) Primeiro vamos considerar que a velocidade em cada intervalo de 12 segundos é a velocidade no inicio do intervalo. Para o primeiro intervalo temos:

d 1 = 12 ⋅ v 0 = 12 ⋅ 30 = 360

Para o segundo:

d 2 = 12 ⋅ v 12 = 12 ⋅ 28 = 336

Fazemos isso ate o final. O valor da última velocidade 27 pés/s não entra na conta, pois não é a velocidade inicial de nenhum intervalo. Somando todos os d ' s, temos:

D = 12 30 + 28 + 25 + 22 + 24 = 1548   p é s

Passo 3

(b) Agora fazemos o mesmo, so que tomando como velocidade do intervalo a velocidade no final dele. Dessa vez quem não entra na conta é v 0 = 30 , pois não é a velocidade final de nenhum intervalo:

D = 12 28 + 25 + 22 + 24 + 27 = 1512   p é s

Passo 4

(c) Vamos agora tentar analisar que tipo de estimativas são as calculadas em (a) e (b). Fazendo um esboço do que pode ser a função da velocidade, podemos representar as estimativas por somas de retângulos com base em intervalos de 12 s. Na aproximação com velocidade inicial a altura de cada retângulo é o valor da função no inicio do intervalo, e na com velocidade final a altura é o valor da função no final do intervalo. Vamos então desenhar os retângulos. Primeiro para a aproximação com velocidade inicial:

E para a aproximação com velocidade final:

Como podemos ver, para os dois casos temos partes nas quais o retângulo passa a curva e partes nas quais ele não passa. Por isso, não há como saber ao certo se as aproximações são superestimadas ou subestimadas, a não ser que tenhamos a função v bem definida em todos os pontos.

Resposta

  1. D = 1548   p é s
  2. D = 1512   p é s
  3. Não há como saber se são subestimadas ou superestimadas.
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