Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 12
A leitura do odômetro de uma motocicleta em intervalos de 12 segundos é mostrada na tabela a seguir.
- Estime a distância percorrida pela motocicleta durante esse período, usando a velocidade no começo dos intervalos de tempo.
- Dê outra estimativa usando a velocidade no fim dos intervalos de tempo.
- As estimativas feitas nas partes (a) e (b) são estimativas superior e inferior? Explique.
Passo 1
Queremos calcular a distancia total percorrida pelo corredor no intervalo de tempo dado. Para cada intervalo de tempo de 12 s, podemos supor que a velocidade é constante, e então calcular a distância em cada intervalo como . Podemos fazer isso de duas formas: ou dizemos que a velocidade em um intervalo é a velocidade do inicio do intervalo ou a do final. Por exemplo, para o tempo de até , podemos dizer que a velocidade é ou pés/s. Vamos calcular das duas maneiras, e então tentar comparar com o valor real (que não da pra saberquanto é) da distancia percorrida.
Passo 2
(a) Primeiro vamos considerar que a velocidade em cada intervalo de 12 segundos é a velocidade no inicio do intervalo. Para o primeiro intervalo temos:
Para o segundo:
Fazemos isso ate o final. O valor da última velocidade 27 pés/s não entra na conta, pois não é a velocidade inicial de nenhum intervalo. Somando todos os s, temos:
Passo 3
(b) Agora fazemos o mesmo, so que tomando como velocidade do intervalo a velocidade no final dele. Dessa vez quem não entra na conta é , pois não é a velocidade final de nenhum intervalo:
Passo 4
(c) Vamos agora tentar analisar que tipo de estimativas são as calculadas em (a) e (b). Fazendo um esboço do que pode ser a função da velocidade, podemos representar as estimativas por somas de retângulos com base em intervalos de 12 s. Na aproximação com velocidade inicial a altura de cada retângulo é o valor da função no inicio do intervalo, e na com velocidade final a altura é o valor da função no final do intervalo. Vamos então desenhar os retângulos. Primeiro para a aproximação com velocidade inicial:
E para a aproximação com velocidade final:
Como podemos ver, para os dois casos temos partes nas quais o retângulo passa a curva e partes nas quais ele não passa. Por isso, não há como saber ao certo se as aproximações são superestimadas ou subestimadas, a não ser que tenhamos a função bem definida em todos os pontos.
Resposta
- Não há como saber se são subestimadas ou superestimadas.