Enunciado

27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

36. ∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 3 n

Passo 1

Para vermos se a série é convergente ou divergente devemos utilizar o teste de divergência, pessoal. Esse teste nos diz o seguinte:

“Se lim n → ∞ ⁡ a n = ∄ ou se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série é divergente.”

Sendo assim, devemos aplicar o limite na sequência em questão e analisar seu resultado com base nessa definição. Se fizermos isso, teremos:

a n = 1 1 + 2 3 n

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 2 3 n

Passo 2

Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante, não é mesmo? Mas e o limite que falta, no qual n é expoente de 2 3 ? Esse limite é amplamente discutido na seção 11.1 do Stewart, galera! Esse limite tem dois resultados:

l i m n → ∞ r n = 0

Se 0 < r < 1 .

l i m n → ∞ r n = ∞

Se r ≤ - 1 . No nosso caso, r = 2 3 < 1 , então o limite resultará em 0 . Sendo assim:

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 2 3 n = 1 1 + 0 = 1

Como lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então podemos concluir que a série é divergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 3 n   é   d i v e r g e n t e

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